Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} i^{n} z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} i^{n} z^{n}.
Informações dadas e importantes:
  • Os coeficientes da série são a_n = i^{n} para n\ge0.
  • A variável da série é z (complexa, presumivelmente).
  • O objetivo é encontrar o número real R\ge0 tal que a série converge para |z|<R e diverge para |z|>R (isto é, o raio de convergência).

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão para o raio de convergência de uma série de potências em termos dos coeficientes a_n. Essa é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicando essa fórmula de forma simples: aqui \sqrt[n]{|a_n|} é a enésima raiz positiva do módulo do coeficiente a_n. O \limsup significa o limite superior quando n\to\infty (para sequências que convergem, o \limsup coincide com o limite). A fórmula diz que quanto maior, em média, forem os módulos dos coeficientes a_n, menor será o raio de convergência, e vice-versa.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula acima ao nosso caso. Primeiro calculemos o módulo dos coeficientes a_n. Lembremos que |i|=1. Portanto, para todo n:
|a_n| = |i^{n}| = |i|^{n} = 1^{n}=1.
Aqui expliquei cada passo: i é um número complexo com módulo 1, então elevar i à n-ésima potência mantém o módulo igual a 1.

Passo 4

Agora calculemos \sqrt[n]{|a_n|}. Como |a_n|=1 para todo n,
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{1} = 1.
Portanto a sequência \sqrt[n]{|a_n|} é constantemente 1, e seu \limsup quando n\to\infty é
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Cauchy–Hadamard, obtemos
R=\frac{1}{1}=1.
Assim, pelo teste de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Para reforçar a intuição, veja uma maneira alternativa e bem direta: a série é uma série geométrica com termo geral (i z)^n. Uma série geométrica \sum_{n=0}^\infty w^n converge exatamente quando |w|<1. No nosso caso w=i z, então a condição de convergência é |i z|<1. Mas |i z|=|i|\,|z|=1\cdot|z|=|z|. Logo a condição é |z|<1, ou seja, o raio de convergência é 1. Essa observação confirma o resultado anterior e é uma forma prática de ver a resposta na hora da prova.

Resposta

R=1

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