Determine o raio de convergência
das seguintes séries de potências:
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência da série de potências
Informações dadas e importantes:
- Os coeficientes da série são
para . - A variável da série é
(complexa, presumivelmente). - O objetivo é encontrar o número real
tal que a série converge para e diverge para (isto é, o raio de convergência).
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão para o raio de convergência de uma série de potências em termos dos coeficientes
. Essa é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Explicando essa fórmula de forma simples: aqui
é a enésima raiz positiva do módulo do coeficiente
. O
significa o limite superior quando
(para sequências que convergem, o
coincide com o limite). A fórmula diz que quanto maior, em média, forem os módulos dos coeficientes
, menor será o raio de convergência, e vice-versa.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula acima ao nosso caso. Primeiro calculemos o módulo dos coeficientes
. Lembremos que
. Portanto, para todo
:
Aqui expliquei cada passo:
é um número complexo com módulo
, então elevar
à
-ésima potência mantém o módulo igual a
.
Passo 4
Agora calculemos
. Como
para todo
,
Portanto a sequência
é constantemente
, e seu
quando
é
Passo 5
Substituindo na fórmula de Cauchy–Hadamard, obtemos
Assim, pelo teste de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência é
.
Passo 6
Para reforçar a intuição, veja uma maneira alternativa e bem direta: a série é uma série geométrica com termo geral
. Uma série geométrica
converge exatamente quando
. No nosso caso
, então a condição de convergência é
. Mas
. Logo a condição é
, ou seja, o raio de convergência é
. Essa observação confirma o resultado anterior e é uma forma prática de ver a resposta na hora da prova.