e pede o raio de convergência R dessa série. Informações relevantes que temos: a variável é z\in\mathbb{C}, o somatório é sobre n\ge 1 e cada termo pode ser visto como \left(\dfrac{z}{\ln(i n)}\right)^{n} = a_n z^n com coeficientes que dependem de n e envolvem o logaritmo complexo \ln(i n). Neste passo apenas listei o que o problema fornece e o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar uma ferramenta padrão para raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz o seguinte para uma série de potências centrada em 0,
Explicando devagar: a_n é o n-ésimo coeficiente (aqui será o fator que multiplica z^n), \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do módulo de a_n, e \limsup é o limite superior das subsequências — na prática, se \sqrt[n]{|a_n|} tem limite, então \limsup é esse limite. Essa fórmula transforma o problema de achar R em calcular o comportamento assintótico de \sqrt[n]{|a_n|}.
Passo 3
Identificamos os coeficientes a_n. Reescrevendo o termo geral,
Como \sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|} e essa quantidade tende a 0, o \limsup também é 0:
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 0.
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard isso significa que \dfrac{1}{R}=0. (Não repito a forma final do R aqui; a dedução acima é o cálculo essencial que leva ao resultado.)