Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{\ln (i n)}\right)^{n}.
Resposta: R=\infty

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{\ln(i n)}\right)^{n}
e pede o raio de convergência R dessa série. Informações relevantes que temos: a variável é z\in\mathbb{C}, o somatório é sobre n\ge 1 e cada termo pode ser visto como \left(\dfrac{z}{\ln(i n)}\right)^{n} = a_n z^n com coeficientes que dependem de n e envolvem o logaritmo complexo \ln(i n). Neste passo apenas listei o que o problema fornece e o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar uma ferramenta padrão para raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz o seguinte para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^\infty a_n z^n:
o raio de convergência R satisfaz
\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
Explicando devagar: a_n é o n-ésimo coeficiente (aqui será o fator que multiplica z^n), \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do módulo de a_n, e \limsup é o limite superior das subsequências — na prática, se \sqrt[n]{|a_n|} tem limite, então \limsup é esse limite. Essa fórmula transforma o problema de achar R em calcular o comportamento assintótico de \sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 3

Identificamos os coeficientes a_n. Reescrevendo o termo geral,
\left(\frac{z}{\ln(i n)}\right)^{n} = \frac{1}{\bigl(\ln(i n)\bigr)^{n}}\, z^n,
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a_n = \frac{1}{\bigl(\ln(i n)\bigr)^{n}}.
Agora aplicamos a transformação da fórmula: calculemos \sqrt[n]{|a_n|}. Temos
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|^{n}}} = \frac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|}.
Portanto a quantidade que entra no \limsup é \dfrac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|}.

Passo 4

Precisamos estudar o comportamento de \bigl|\ln(i n)\bigr| quando n\to\infty. Use a forma polar:
i n = n\cdot e^{i\pi/2},
e para o logaritmo complexo (escolhendo o argumento principal \pi/2) vale
\ln(i n) = \ln n + i\frac{\pi}{2}.
O módulo desse número complexo é
\bigl|\ln(i n)\bigr| = \sqrt{\bigl(\ln n\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}}.
Quando n\to\infty temos \ln n \to \infty, portanto
\bigl|\ln(i n)\bigr| \to \infty.
Como consequência,
\frac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|} \to 0 \quad\text{quando } n\to\infty.

Passo 5

Como \sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{\bigl|\ln(i n)\bigr|} e essa quantidade tende a 0, o \limsup também é 0:
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 0.
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard isso significa que \dfrac{1}{R}=0. (Não repito a forma final do R aqui; a dedução acima é o cálculo essencial que leva ao resultado.)

Resposta

R=\infty

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