Determine o raio de convergência e a região de convergência de tildea(z), onde:
an=n 2^n

Passo 1

Estamos com a sequência an=n,2^n e queremos a função-geradora
tildea(z)=sumn=0^inftyanz^n.
O conteúdo é o cálculo do raio de convergência de uma série de potências, que usamos pelo teste da raiz ou pelo teste da razão.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que o raio de convergência R satisfaz
1R ;=;limsupntoinftyraiz[n]l|anr| ;=;limsupntoinftyraiz[n]n,2^n
Para separar os fatores, note que
raiz[n]n,2^n =raiz[n]n;raiz[n]2^n =raiz[n]n;2

Passo 3

Sabemos que limntoinftyraiz[n]n=1. Logo
limsupntoinftyraiz[n]n,2^n =1cdot 2 = 2
Daí vem
1R=2 Longrightarrow R=12

Passo 4

A região de convergência de uma série de potências sum anz^n com raio R é o disco aberto
zinCmid |z|<R
Substituindo R=1/2, obtemos a região de convergência
zinCmid |z|<tfrac12

Resposta

O raio de convergência é
R=tfrac12,
e a região de convergência é
zinCmid |z|<tfrac12

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