Determine o raio de convergência e a região de convergência de , onde:
Passo 1
Estamos com a sequência e queremos a função-geradora .
O conteúdo é o cálculo do raio de convergência de uma série de potências, que usamos pelo teste da raiz ou pelo teste da razão.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz que o raio de convergência satisfaz
Para separar os fatores, note que
raiz[n]n,2^n =raiz[n]n;raiz[n]2^n =raiz[n]n;2
Passo 3
Sabemos que limntoinftyraiz[n]n=1. Logo
limsupntoinftyraiz[n]n,2^n =1cdot 2 = 2
Daí vem
1R=2 Longrightarrow R=12
Passo 4
A região de convergência de uma série de potências sum anz^n com raio R é o disco aberto
zinCmid |z|<R
Substituindo R=1/2, obtemos a região de convergência