Determine o raio de convergência e a região de convergência de tildea(z), onde:
an=cos (omega n), omega in C

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
tilde a(z)=sumn=0^inftyan,z^n com an=cos(omega n), ;omegainC
O conteúdo necessário é saber usar a representação de Euler para o cosseno e aplicar o teste da raiz (ou da razão) para séries de potências.

Passo 2

Usamos a identidade de Euler para escrever cos(omega n) em termos de exponenciais:
cos(omega n) =e^,iomega n+e^-,iomega n2
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tilde a(z) =sumn=0^inftye^,iomega n+e^-,iomega n2;z^n =12sumn=0^inftyl(e^,iomegazr)^n +12sumn=0^inftyl(e^-,iomegazr)^n

Passo 3

Cada soma geométrica converge se e somente se o módulo do termo multiplicativo for menor que 1. Assim exigimos simultaneamente
l|e^,iomegazr|<1 e l|e^-,iomegazr|<1
Como l|e^,iomegar|=e^-Im(omega) e l|e^-,iomegar|=e^Im(omega), essas duas condições são
|z|<e^Im(omega) e |z|<e^-Im(omega)

Passo 4

A região que satisfaz ambas é
|z|<minl(e^Im(omega),,e^-Im(omega)r) =e^-|Im(omega)|
Portanto o raio de convergência é
R = e^-|Im(omega)|,
e a região de convergência é o disco
,zinC:|z|<e^-|Im(omega)|

Resposta

O raio de convergência é
R = e^-|Im(omega)|
e a região de convergência é
,zinC:|z|<e^-|Im(omega)|

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