Determine o raio de convergência e a região de convergência de
, onde:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
O conteúdo necessário é saber usar a representação de Euler para o cosseno e aplicar o teste da raiz (ou da razão) para séries de potências.
Passo 2
Usamos a identidade de Euler para escrever
em termos de exponenciais:
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Passo 3
Cada soma geométrica converge se e somente se o módulo do termo multiplicativo for menor que 1. Assim exigimos simultaneamente
Como
l|e^,iomegar|=e^-Im(omega) e
l|e^-,iomegar|=e^Im(omega) , essas duas condições são
Passo 4
A região que satisfaz ambas é
Portanto o raio de convergência é
e a região de convergência é o disco
Resposta
O raio de convergência é
e a região de convergência é