Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n n!(x-1)^n5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência da série de potências dada. O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da razão, que ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos precisar mexer com limites e entender como a série se comporta conforme aumentamos o número de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele determina o intervalo ao redor do ponto central (neste caso, x = 1) onde a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o teste da razão.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo (n+1) da série e o termo n, enquanto n vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão à nossa série:
limn to infty | an+1an |
Onde:
an = (-1)^n n! (x - 1)^n5^n

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (n+1)! (x - 1)^n+1 / 5^n+1(-1)^n n! (x - 1)^n / 5^n |

Passo 6

Simplificando a expressão:
| (-1)^n+1(-1)^n cdot (n+1)!n! cdot (x - 1)^n+1(x - 1)^n cdot 5^n5^n+1 | = | (-1) cdot (n+1) cdot (x - 1) cdot 15 |
Como estamos lidando com valores absolutos, o -1 não importa:
| an+1an | = (n+1) cdot | x - 15 |

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty (n+1) cdot | x - 15 | = infty cdot | x - 15 |
Para que esse limite seja menor que 1 (para convergência), precisaríamos que | x - 15 | = 0, ou seja, x = 1.

Resposta

Portanto, o raio de convergência dessa série de potências é 0.

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