Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty(-2)^n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-2)^nx^n
O conteúdo aqui é séries de potências e o que vamos usar é o teste da razão para determinar em quais valores de x a série converge.

Passo 2

Seja o termo geral da série
an=(-2)^nx^n
Pelo teste da razão, definimos
L=limntoinfty|an+1an|,
e sabemos que a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos, temos
L = limntoinfty|(-2)^n+1x^n+1(-2)^nx^n| = l|(-2)xr| =2,|x|
Exigindo L<1, obtemos
2,|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac12
Isto significa que a série converge para |x|<tfrac12 e diverge para |x|>tfrac12.

Resposta

O raio de convergência é R=tfrac12.

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