Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (x+2)^n2^n n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty(x+2)^n2^nn^2
centrada em x0=-2, e pede o raio de convergência R. Para determinar R, vamos usar o teste da raiz, que é o método padrão para esse tipo de problema.

Passo 2

Identificamos os coeficientes
an = 12^nn^2
O teste da raiz diz que
limsupntoinftyraiz[n]|an| = limntoinftyraiz[n]12^nn^2 = limntoinfty12,n^2/n = 12,
pois limntoinftyn^2/n=1.

Passo 3

O raio de convergência vem de
R = 1 limsupntoinftyraiz[n]|an| = 11/2 = 2

Resposta

O raio de convergência é 2.

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