Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (2 x)^nn!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(2x)^nn!
O conteúdo envolvido é séries de potências, e vamos usar o critério da razão (ou de Cauchy) para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (2x)^nn!
Pelo critério da razão calculamos
|an+1an| = l|2xr|^n+1/(n+1)!l|2xr|^n/n! = l|2xr|n+1
Tomando o limite quando ntoinfty, obtemos
limntoinftyl|2xr|n+1 = 0
Esse limite é menor que 1 para qualquer valor de x, o que significa que a série converge para todo xinR.

Resposta

O raio de convergência é R = infty.

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