Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n x^n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^n(2n)!
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar para quais x a série converge, o que nos dá o raio de convergência R.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
un = (-1)^nx^n(2n)!
No teste da razão, calculamos o limite
L ;=;limntoinfty|un+1un|

Passo 3

Vamos calcular
|un+1un| =|(-1)^n+1x^n+1/(2n+2)!(-1)^nx^n/(2n)!| =|x|(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Observe que
limntoinfty|x|(2n+2)(2n+1)=0
independentemente de x. Como esse limite L=0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é R=infty.

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