Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty n^2(x+1)^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x0=-1:
sumn=0^inftyn^2(x+1)^n
Queremos encontrar o raio de convergência R. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é um método clássico para determinar R em séries de potências.

Passo 2

Seja an = n^2 o coeficiente da potência (x+1)^n. No teste da razão, calculamos
L ;=;limntoinfty|an+1(x+1)^n+1an,(x+1)^n| ;=;limntoinfty(n+1)^2n^2;l|x+1r|

Passo 3

Observe que
(n+1)^2n^2 =l(1+1nr)^2 ;xrightarrow[ntoinfty];1
Logo
L = 1cdotl|x+1r| = l|x+1r|

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é,
l|x+1r|<1
Isso significa que o intervalo de convergência é centrado em -1 e se estende de comprimento 2, logo o raio de convergência é
R = 1

Resposta

O raio de convergência da série é R=1.

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