Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty (-1)^n(2 n)!x^nn!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n(2n)!n!x^n.
Para encontrar esse raio, vamos usar o critério da razão para séries de potências, segundo o qual
R ;=;limntoinfty|anan+1|,
quando esse limite existir, sendo an=(-1)^n(2n)!n! o coeficiente geral.

Passo 2

Calculemos o quociente entre coeficientes consecutivos (tomando valor absoluto para eliminar o sinal alternante):
|anan+1| =(2n)!n!(2n+2)!(n+1)! =(2n)!n!,(n+1)!(2n+2)! =n+1(2n+2)(2n+1) =12(2n+1)

Passo 3

Tomando o limite quando ntoinfty, obtemos
limntoinfty12(2n+1) ;=;0
Pelo critério da razão, isso significa que a série só converge para |x|<0, ou seja, apenas em x=0.

Resposta

O raio de convergência é R = 0.

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