Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto dado:
f(x)=(1+x)^-2, x0=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x) = (1+x)^-2
em torno de x0=0.
O conteúdo que vamos usar é a expansão binomial generalizada para expoentes reais:
(1+x)^alpha = sumn=0^infty alpha choose n x^n,
válida para |x|<1, onde
alpha choose n = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 2

Aplicamos a fórmula com alpha = -2. Então
,-2 choose n = (-2)(-3)cdots(-2-n+1)n!
Repare que há n fatores no numerador, começando em -2 e decrescendo de 1 em 1.

Passo 3

Vamos reescrever
(-2)(-3)cdots(-2-n+1) = (-1)^n ,2cdot3cdots(n+1)
Mas 2cdot3cdots(n+1) = (n+1)!,/1. Logo
,-2 choose n = (-1)^n (n+1)!n!, = (-1)^n (n+1)

Passo 4

Substituindo na série binomial, obtemos
(1+x)^-2 = sumn=0^infty ,-2 choose n,x^n = sumn=0^infty (-1)^n (n+1),x^n,
com raio de convergência |x|<1.
Podemos conferir os primeiros termos:
(1+x)^-2 = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - cdots

Resposta

boxed (1+x)^-2 = sumn=0^infty(-1)^n (n+1),x^n, |x|<1

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