Determine a série de Taylor da seguinte função, em torno do ponto dado:
f(x)=cos (3 x) x0=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=cos(3x) em torno de x0=0. O conteúdo que vamos usar é a definição de série de Taylor e a expansão conhecida de cos x em torno de zero.

Passo 2

A definição de série de Taylor de uma função f em torno de x0=0 é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
No caso de funções pares como o cosseno, só aparecem termos de potência par porque f^(2k+1)(0)=0.

Passo 3

Sabemos que a expansão de Maclaurin de cos u é
cos u = sumk=0^infty(-1)^ku^2k(2k)!
Aqui u=3x. Como cos(3x)=cos u, basta substituir u=3x nessa série.

Passo 4

Fazendo u=3x obtemos
cos(3x) =sumk=0^infty(-1)^k(3x)^2k(2k)! =sumk=0^infty(-1)^k3^2k,x^2k(2k)!

Resposta

boxedcos(3x)=sumk=0^infty(-1)^k3^2k,x^2k(2k)! =1-(3x)^22!+(3x)^44!-(3x)^66!+cdots

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