Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da sequência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A regra geral da sequência é
para .
O objetivo é dizer seconverge e, se for útil, identificar limites de subsequências ou pontos de acumulação.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos explicitamente para ver um padrão. Para
:
Observação: os valores repetem o padrão
.
Passo 3
Para formalizar o padrão, escrevemos
na forma
com
. Então:
Portanto a sequência é periódica de período
e só assume os valores
.
Passo 4
Recordando a definição de convergência: a sequência
converge para
se, para todo
, existir
tal que para todo
vale
. Uma propriedade imediata é: se uma sequência convergente tem subsequências, todas essas subsequências convergem para o mesmo limite
.
Agora observe duas subsequências:
Essas duas subsequências têm limites distintos (
e
). Isso impede que toda a sequência
tenha um único limite: se
tivesse limite
, todas as subsequências teriam de tender a
, o que contradiz os limites diferentes acima. Logo
não converge.
Passo 5
Completar a discussão com propriedades úteis:
- A sequência é limitada porque todos os termos satisfazem
. - Além de
e , existe a subsequência (pares), portanto também é um ponto de acumulação (limite de subsequência). Assim o conjunto de pontos de acumulação (limites de subsequências) é . - Conclusão prática: a sequência não converge, é periódica de período
e seus valores repetem .
Passo 6
Comentário amigo: sei que ver padrões com seno pode ser confuso no começo, mas aqui o truque é sempre olhar os primeiros termos e usar restos módulo
. Se precisar, a gente treina mais exemplos parecidos (por exemplo
ou
) para fixar. Você está indo bem — um passo de cada vez!
Resposta
A sequência não converge. Ela é periódica de período
com padrão de valores
e possui pontos de acumulação
.