Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\operatorname{sen}\left(n \frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da sequência a_{n}=\operatorname{sen}\left(n\frac{\pi}{2}\right).
Informações dadas:
  • A regra geral da sequência é a_{n}=\operatorname{sen}\left(n\frac{\pi}{2}\right) para n=1,2,3,\dots.
    O objetivo é dizer se a_{n} converge e, se for útil, identificar limites de subsequências ou pontos de acumulação.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos explicitamente para ver um padrão. Para n=1,2,3,4,5,6,7,8:
\begin{aligned} a_{1}&=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\\\ a_{2}&=\operatorname{sen}(\pi)=0,\\\ a_{3}&=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\\\ a_{4}&=\operatorname{sen}(2\pi)=0,\\\ a_{5}&=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=1,\\\ a_{6}&=\operatorname{sen}(3\pi)=0,\\\ a_{7}&=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{2}\right)=-1,\\\ a_{8}&=\operatorname{sen}(4\pi)=0. \end{aligned}
Observação: os valores repetem o padrão 1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots.

Passo 3

Para formalizar o padrão, escrevemos n na forma n=4k+r com r\in\{0,1,2,3\}. Então:
\begin{aligned} \text{se }n=4k&\Rightarrow a_n=\operatorname{sen}(2k\pi)=0,\\\ \text{se }n=4k+1&\Rightarrow a_n=\operatorname{sen}\!\left(2k\pi+\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\\\ \text{se }n=4k+2&\Rightarrow a_n=\operatorname{sen}\!\left(2k\pi+\pi\right)=0,\\\ \text{se }n=4k+3&\Rightarrow a_n=\operatorname{sen}\!\left(2k\pi+\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1. \end{aligned}
Portanto a sequência é periódica de período 4 e só assume os valores -1,0,1.

Passo 4

Recordando a definição de convergência: a sequência a_n converge para L se, para todo \varepsilon>0, existir N tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\varepsilon. Uma propriedade imediata é: se uma sequência convergente tem subsequências, todas essas subsequências convergem para o mesmo limite L.
Agora observe duas subsequências:
\text{(i) }a_{4k+1}=1\\ \text{para todo }k\quad\Rightarrow\quad \lim_{k\to\infty} a_{4k+1}=1,
\text{(ii) }a_{4k+3}=-1\\ \text{para todo }k\quad\Rightarrow\quad \lim_{k\to\infty} a_{4k+3}=-1.
Essas duas subsequências têm limites distintos ( 1 e -1). Isso impede que toda a sequência a_n tenha um único limite: se a_n tivesse limite L, todas as subsequências teriam de tender a L, o que contradiz os limites diferentes acima. Logo a_n não converge.

Passo 5

Completar a discussão com propriedades úteis:
  • A sequência é limitada porque todos os termos satisfazem -1\le a_n\le 1.
  • Além de -1 e 1, existe a subsequência a_{2k}=0 (pares), portanto 0 também é um ponto de acumulação (limite de subsequência). Assim o conjunto de pontos de acumulação (limites de subsequências) é \{-1,0,1\}.
  • Conclusão prática: a sequência não converge, é periódica de período 4 e seus valores repetem 1,0,-1,0,\dots.

Passo 6

Comentário amigo: sei que ver padrões com seno pode ser confuso no começo, mas aqui o truque é sempre olhar os primeiros termos e usar restos módulo 4. Se precisar, a gente treina mais exemplos parecidos (por exemplo \operatorname{sen}(n\pi/3) ou \cos(n\pi/2)) para fixar. Você está indo bem — um passo de cada vez!

Resposta

A sequência não converge. Ela é periódica de período 4 com padrão de valores 1,0,-1,0,\dots e possui pontos de acumulação -1,0,1.

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