Determine o raio de convergência da da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x0, dado
(x^2-2 x-3) y^prime prime+x y^prime+4 y=0, x0=4, x0=0 e x0=-4

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência das séries que representam as soluções da equação
(x^2-2x-3),y'' + x,y' + 4,y = 0
em torno de cada ponto x0. Em teoria de séries de potências para EDOs, o raio de convergência em torno de x0 é a distância até o singular mais próximo, e os singularidades vêm das raízes do coeficiente de y''.

Passo 2

Encontramos os pontos singulares resolvendo
x^2-2x-3 = 0
Isso fatoriza como
(x-3)(x+1)=0,
logo as singularidades estão em x=3 e x=-1.

Passo 3

Para x0=4, calculamos as distâncias até cada singularidade:
|4-3| = 1, |4-(-1)| = 5
O raio de convergência é a menor dessas distâncias, ou seja, R=1.

Passo 4

Para x0=0, as distâncias são
|0-3| = 3, |0-(-1)| = 1
Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Para x0=-4, as distâncias são
|-4-3| = 7, |-4-(-1)| = 3
Assim o raio de convergência é R=3.

Resposta

Para x0=4: R=1
Para x0=0: R=1
Para x0=-4: R=3

Exercícios relacionados