Determine o raio de convergência da da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto
, dado
e
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência das séries que representam as soluções da equação
em torno de cada ponto
. Em teoria de séries de potências para EDOs, o raio de convergência em torno de
é a distância até o singular mais próximo, e os singularidades vêm das raízes do coeficiente de
.
Passo 2
Encontramos os pontos singulares resolvendo
Isso fatoriza como
logo as singularidades estão em
e
.
Passo 3
Para
, calculamos as distâncias até cada singularidade:
O raio de convergência é a menor dessas distâncias, ou seja,
.
Passo 4
Para
, as distâncias são
Logo o raio de convergência é
.
Passo 5
Para
, as distâncias são
Assim o raio de convergência é
.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para
Para