Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da função.
Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de cada gráfico.
f(x)=3 x+1x-2

Passo 1

O enunciado pede para a função racional
f(x)=3x+1x-2
encontrarmos suas assíntotas verticais e horizontais e, em seguida, esboçarmos o gráfico. Para isso vamos usar o critério de zeros do denominador para assíntotas verticais, e o comportamento de f(x) quando xtopminfty para a assíntota horizontal. Também iremos identificar interceptos e o comportamento próximo às assíntotas para orientar o desenho.

Passo 2

Para achar a assíntota vertical procuramos onde o denominador se anula sem que o numerador anule simultaneamente. Temos
x-2=0 Longrightarrow x=2,
e como 3cdot2+1=7neq0, concluímos que
assíntota vertical: x=2 í

Passo 3

Para a assíntota horizontal calculamos
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty3x+1x-2 =coef de x no numeradorcoef de x no denominador =31=3
Logo,
assíntota horizontal: y=3 í

Passo 4

Para guiar o esboço, achamos os interceptos:
- Intercepto em y: em x=0,
f(0)=3cdot 0 + 10 - 2 = -tfrac12,
logo o ponto (0,-tfrac12).
- Intercepto em x: resolvemos 3x + 1 = 0, dando
x = -tfrac13,
de modo que o ponto l(-tfrac13,0r).

Passo 5

Com as assíntotas x=2 e y=3, e os pontos de apoio, o gráfico é um ramo hyperbólico em duas partes:
1. Para x>2:
  • Ao se aproximar de 2^+, f(x)to+infty.
  • Conforme xto+infty, f(x)searrow3^+.
  • Exemplo: f(3)=10, mostra que o ramo sai de +infty e decresce em direção a y=3.
    2. Para x<2:
  • Ao se aproximar de 2^-, f(x)to-infty.
  • Quando xto-infty, f(x)nearrow3^-.
  • Passa pelos pontos l(-tfrac13,0r) e (0,-tfrac12).
Esse comportamento gera o esboço: duas curvas que “abraçam” as retas x=2 e y=3, uma no quadrante à direita de x=2 acima de y=3 e outra à esquerda de x=2 cruza o eixo x em -tfrac13 e sobe de -infty em xto2^- até se aproximar de y=3 em xto-infty.

Resposta

Assíntotas:
boxedx=2(vertical), y=3(horizontal)
Gráfico: duas ramificações de hipérbole com essas assíntotas, cruzando (0,-tfrac12) e (-tfrac13,0) no ramo à esquerda de x=2, e tendendo a +infty em xto2^+ e a 3 em xto+infty no ramo à direita.

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