Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da função.
Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de cada gráfico.
Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de cada gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função racional
encontrarmos suas assíntotas verticais e horizontais e, em seguida, esboçarmos o gráfico. Para isso vamos usar o critério de zeros do denominador para assíntotas verticais, e o comportamento de
quando
para a assíntota horizontal. Também iremos identificar interceptos e o comportamento próximo às assíntotas para orientar o desenho.
Passo 2
Para achar a assíntota vertical procuramos onde o denominador se anula sem que o numerador anule simultaneamente. Temos
e como
, concluímos que
Passo 3
Para a assíntota horizontal calculamos
Logo,
Passo 4
Para guiar o esboço, achamos os interceptos:
- Intercepto em : em
,
- Intercepto em
logo o ponto
.
- Intercepto em : resolvemos
, dando
- Intercepto em
de modo que o ponto
.
Passo 5
Com as assíntotas
e
, e os pontos de apoio, o gráfico é um ramo hyperbólico em duas partes:
. Para
:
- Ao se aproximar de
, . - Conforme
, . - Exemplo:
, mostra que o ramo sai de e decresce em direção a .
. Para : - Ao se aproximar de
, . - Quando
, . - Passa pelos pontos
e .
Esse comportamento gera o esboço: duas curvas que “abraçam” as retas
e
, uma no quadrante à direita de
acima de
e outra à esquerda de
cruza o eixo
em
e sobe de
em
até se aproximar de
em
.
Resposta
Assíntotas:
Gráfico: duas ramificações de hipérbole com essas assíntotas, cruzando
e
no ramo à esquerda de
, e tendendo a
em
e a
em
no ramo à direita.