(Vibrações mecânicas - sistema massa-mola) Seja u=u(t). A equação que descreve o sistema massa-mola é dada por
m ddotu+c dotu+k u=F(t), para t>0,
m designa a massa, c o coeficiente de amortecimento e k o coeficiente de estiramento da mola e F(t) a força externa aplicada ao sistema. Suponha que m e k são constantes positivas, c uma constante não negativa e F(t) equiv 0.
Responda o item (a) considerando c=0.

Passo 1

O enunciado reduz-se ao sistema não amortecido e sem força externa, isto é
mddot u + k,u = 0, m>0,;k>0
O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo u(t)=e^rt:
m,r^2 + k = 0
Esta fórmula vem da regra de que ddot umapsto r^2e^rt e umapsto e^rt.

Passo 3

Resolvendo
m,r^2 + k = 0 Longrightarrow r^2 = -km Longrightarrow r = pm iraizkm
Definimos omega = raizk/m, que é a frequência angular do sistema.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral real é
u(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isto caracteriza um movimento harmônico simples com frequência omega.

Passo 5

A partir de omega=raizk/m, a frequência circular do oscilador é essa e o período de oscilação é
T = 2piomega = 2piraizmk

Resposta

u(t) = Acos!l(raiztfrackm,tr) + Bsin!l(raiztfrackm,tr), T = 2piraiztfracmk

Exercícios relacionados