Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty n!(x-3)^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência e todos os valores de sumn=1^infty n!(x-3)^nn^n para os quais a série de potência
converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries de potência e como determinar onde elas “funcionam” ou convergem. Vamos precisar usar o teste da razão, que é uma técnica para encontrar o raio de convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o teste da razão. Ele funciona assim: para uma série L = limn to infty | an+1an | , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo. No caso de séries de potência da forma , esse limite nos ajuda a encontrar o raio de convergência , onde a série converge para .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, o termo geral an = n!n^n é:
L = limn to infty | an+1(x - 3)^n+1an (x - 3)^n | = limn to infty | (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^nn! cdot (x - 3) |
E a série é . Então, vamos calcular:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Podemos reescrever L = limn to infty | (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 cdot (x - 3) | = limn to infty | n^n(n+1)^n cdot 1n+1 cdot (x - 3) | .

Passo 5

Sabemos que L = limn to infty | 1e cdot 1n+1 cdot (x - 3) | = 0 se aproxima de quando tende ao infinito. Então:
Porque vai a zero.

Passo 6

No teste da razão, se , a série converge. Aqui, vimos que para qualquer valor de . Isso significa que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O raio de convergência é infinito ( ) e a série converge para todos os valores de .

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