Determine o raio de convergência e todos os valores de para os quais as seguintes séries de potência convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o raio de convergência e todos os valores de para os quais a série de potência
converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries de potência e como determinar onde elas “funcionam” ou convergem. Vamos precisar usar o teste da razão, que é uma técnica para encontrar o raio de convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o teste da razão. Ele funciona assim: para uma série , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo. No caso de séries de potência da forma , esse limite nos ajuda a encontrar o raio de convergência, onde a série converge para .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, o termo geral an = n!n^n é:
L = limn to infty | an+1(x - 3)^n+1an (x - 3)^n | = limn to infty | (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^nn! cdot (x - 3) |
E a série é . Então, vamos calcular:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever L = limn to infty | (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 cdot (x - 3) | = limn to infty | n^n(n+1)^n cdot 1n+1 cdot (x - 3) | .
Passo 5
Sabemos que L = limn to infty | 1e cdot 1n+1 cdot (x - 3) | = 0 se aproxima de quando tende ao infinito. Então:
Porque vai a zero.
Passo 6
No teste da razão, se , a série converge. Aqui, vimos que para qualquer valor de . Isso significa que a série converge para todos os valores de .
Resposta
O raio de convergência é infinito () e a série converge para todos os valores de .