Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência e todos os valores de x para os quais a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}
converge. O conteúdo envolvido é séries de potência: usaremos o teste da razão para achar o raio e, em seguida, analisaremos os extremos x=\pm1.
Passo 2
Seja
a_n = \frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{2(n+1)-1}/(2(n+1)-1)}{x^{2n-1}/(2n-1)}\right| = \lim_{n\to\infty}|x|^2\;\frac{2n-1}{2n+1} = |x|^2.
Pela regra do teste da razão, a série converge se L<1, isto é, se |x|^2<1.
Passo 3
Da condição |x|^2<1 concluímos que o raio de convergência é