Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência e todos os valores de x para os quais a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}
converge. O conteúdo envolvido é séries de potência: usaremos o teste da razão para achar o raio e, em seguida, analisaremos os extremos x=\pm1.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{2(n+1)-1}/(2(n+1)-1)}{x^{2n-1}/(2n-1)}\right| = \lim_{n\to\infty}|x|^2\;\frac{2n-1}{2n+1} = |x|^2.
Pela regra do teste da razão, a série converge se L<1, isto é, se |x|^2<1.

Passo 3

Da condição |x|^2<1 concluímos que o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

Resta analisar os extremos:
  1. Para x=1, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{2n-1}}{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
que é comparável à série harmônica e diverge.
  1. Para x=-1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1} = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
que também diverge pela mesma razão.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e a série converge exatamente para
x\in(-1,1).

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