Questão 6(2,0). Seja f: A \rightarrow B um homomorfismo de anéis sobrejetor. Mostre que se A é um domínio de ideais principais, então B é domínio de ideais principais.

Passo 1

O enunciado dá um homomorfismo de anéis sobrejetor \displaystyle f\colon A\to B
e diz que A é um domínio de ideais principais (ou seja, todo ideal de A é gerado por um único elemento). Queremos mostrar que B também tem essa propriedade: todo ideal de B é principal. Para isso vamos usar o Teorema da Correspondência de Ideais para homomorfismos sobrejetores.

Passo 2

Seja \displaystyle K=\ker(f). Como f é sobrejetor, existe um isomorfismo canônico
A/K\;\xrightarrow{\;\sim\;}\;B,
dado por \;a+K\mapsto f(a). Portanto basta mostrar que todo ideal de A/K é principal.

Passo 3

Pelo Teorema da Correspondência de Ideais para o homomorfismo natural \pi\colon A\to A/K, há bijeção entre
  • ideais I de A tais que K\subseteq I, e
  • ideais \widetilde I de A/K, dada por
    \;I\mapsto \pi(I)=\{\,a+K: a\in I\}.

Passo 4

Como A é PID, qualquer ideal I com K\subseteq I é principal:
I=(a)\quad\text{para algum }a\in A.
Então o ideal correspondente em A/K é
\pi(I)=\{\,x+K : x\in(a)\}=(\,a+K\,),
isto é, gerado pelo elemento a+K.

Passo 5

Pela isomorfia A/K\cong B, o ideal \pi(I) corresponde a um ideal de B, mas continua sendo gerado por um único elemento (o correspondente de a+K em B, que é f(a)). Logo todo ideal de B é principal.

Resposta

B é domínio de ideais principais.

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