\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 x}-\sqrt{x^{2}+5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5}\bigr).
O conteúdo aqui é lidar com a indeterminação do tipo ∞−∞, e vamos usar a racionalização (multiplicar pela conjugada) para resolver.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada \sqrt{x^2-5x} + \sqrt{x^2+5}:
\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5} = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-5x}-\sqrt{x^{2}+5}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}\bigr)}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}} = \frac{(x^{2}-5x)-(x^{2}+5)}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}} = \frac{-5x-5}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}}.

Passo 3

Fatoramos x dentro de cada raiz para simplificar o denominador:
\sqrt{x^{2}-5x}=x\sqrt{1-\frac{5}{x}}, \qquad \sqrt{x^{2}+5}=x\sqrt{1+\frac{5}{x^{2}}}.
Assim a expressão vira
\frac{-5x-5}{\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x^{2}+5}} = \frac{-5(x+1)}{x\Bigl(\sqrt{1-\tfrac{5}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{5}{x^{2}}}\Bigr)}.

Passo 4

Agora dividimos numerador e denominador por x e tomamos o limite x\to+\infty:
\frac{-5\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)}{\sqrt{1-\tfrac{5}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{5}{x^{2}}}} \;\longrightarrow\; \frac{-5\cdot1}{1+1} =\,-\frac{5}{2}.

Resposta

-\frac{5}{2}

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