Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada:
r=-3 sen theta

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência em coordenadas polares r=-3sintheta. O conteúdo aqui é converter para coordenadas cartesianas para identificar um círculo e depois voltar ao sistema polar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por r e usamos r^2=x^2+y^2 e rsintheta=y. Assim obtemos:
x^2+y^2=-3y
ou equivalentemente
x^2+y^2+3y=0.

Passo 3

Agora completamos o quadrado no termo em y:
x^2+l(y+tfrac32r)^2=l(tfrac32r)^2.
Isso mostra que o centro em cartesianas é (0,-tfrac32) e o raio vale tfrac32.

Passo 4

Para passar o centro (0,-tfrac32) para coordenadas polares calculamos
rc=raiz0^2+l(-tfrac32r)^2=tfrac32,
thetac=atan2l(-tfrac32,0r)=-tfracpi2,
podendo também usar thetac=tfrac3pi2 no intervalo [0,2pi).

Resposta

Raio: tfrac32. Centro em coordenadas polares: l(tfrac32,-tfracpi2r) (ou l(tfrac32,tfrac3pi2r)).

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