Identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada. Determine a excentricidade, a equação da diretriz, a distância da diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices:
Passo 1
O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é dada pela equação em coordenadas polares
, além de calcular a excentricidade, a equação da diretriz, a distância dessa diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices. Vamos usar a forma canônica de cônicas em coordenadas polares com foco na origem.
Passo 2
A forma canônica de uma cônica com foco na origem e diretriz horizontal é
Comparando com
fatoramos o 3 no denominador e obtemos:
Passo 3
Da comparação vemos que
e
. Logo
.
Passo 4
Como
, a cônica é uma elipse.
Passo 5
Na forma
o sinal
antes de
indica que a diretriz está abaixo do foco, sendo
Passo 6
A distância entre o foco (origem) e a diretriz é
.
Passo 7
Para encontrar os vértices, buscamos os extremos de
variando
. Isso ocorre em
:
Para (
) temos
Para
Para
(
) temos
Portanto os vértices em coordenadas polares são
e
.
Resposta
É uma elipse com excentricidade
, diretriz
, distância do foco à diretriz igual a
e vértices em coordenadas polares
e
.