Identificar a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada. Determine a excentricidade, a equação da diretriz, a distância da diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices:
r=63+sen theta

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é dada pela equação em coordenadas polares r=63+sintheta, além de calcular a excentricidade, a equação da diretriz, a distância dessa diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois vértices. Vamos usar a forma canônica de cônicas em coordenadas polares com foco na origem.

Passo 2

A forma canônica de uma cônica com foco na origem e diretriz horizontal é
r=ed1+esintheta
Comparando com
r=63+sintheta
fatoramos o 3 no denominador e obtemos:
r=63l(1+tfrac13sinthetar)=21+tfrac13sintheta

Passo 3

Da comparação vemos que ed=2 e e=tfrac13. Logo d=tfrac2e=6.

Passo 4

Como e=tfrac13<1, a cônica é uma elipse.

Passo 5

Na forma r=tfraced1+esintheta o sinal + antes de esintheta indica que a diretriz está abaixo do foco, sendo
diretriz: y=-d=-6

Passo 6

A distância entre o foco (origem) e a diretriz é d=6.

Passo 7

Para encontrar os vértices, buscamos os extremos de r variando sintheta. Isso ocorre em sintheta=pm1:
Para theta=tfracpi2 ( sintheta=1) temos
r=21+tfrac13=24/3=tfrac32
Para theta=tfrac3pi2 ( sintheta=-1) temos
r=21-tfrac13=22/3=3
Portanto os vértices em coordenadas polares são l(tfrac32,tfracpi2r) e (3,tfrac3pi2).

Resposta

É uma elipse com excentricidade e=tfrac13, diretriz y=-6, distância do foco à diretriz igual a 6 e vértices em coordenadas polares l(tfrac32,tfracpi2r) e (3,tfrac3pi2).

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