Resolva os sistemas de equações lineares pelo método do escalonamento: realizando operações elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema até que a matriz dos coeficientes fique linha reduzida a forma escada, produzindo assim um sistema equivalente e mais fácil de resolver.
2 x-y+3 z & =11 4 x-3 y+2 z & =0 x+y+z & =6 3 x+y+z & =4

Passo 1

O sistema dado é de quatro equações lineares em três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o método de escalonamento, isto é, montar a matriz completa (coeficientes | termos independentes) e aplicar operações elementares sobre as linhas para levá-la a uma forma escada, de modo a obter um sistema triangular equivalente e facilitar a resolução.

Passo 2

Escrevemos a matriz completa do sistema:
[ccc|c 2 & -1 & 3 & 11 4 & -3 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 6 3 & 1 & 1 & 4 ]

Passo 3

Trocamos a linha 1 com a linha 3 para ter um pivô igual a 1 na primeira linha:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 4 & -3 & 2 & 0 2 & -1 & 3 & 11 3 & 1 & 1 & 4 ]
Em seguida eliminamos x das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1:
R 2 \leftarrow R 2 - 4 cdotR 1,\quad R 3 \leftarrow R 3 - 2 cdotR 1,\quad R 4 \leftarrow R 4 - 3 cdotR 1,
o que resulta em
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & -7 & -2 & -24 0 & -3 & 1 & -1 0 & -2 & -2 & -14 ]

Passo 4

Para criar o pivô 1 na segunda linha, dividimos R 2 por -7:
R 2 \leftarrow \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot R 2 resulta em (0 1 27 247).
Depois eliminamos y das linhas 3 e 4:
R 3 \leftarrow R 3 + 3 cdotR 2,\quad R 4 \leftarrow R 4 + 2 cdotR 2,
ficando
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & 27 & 247 0 & 0 & 137 & 657 0 & 0 & -107 & -507 ]

Passo 5

Para o pivô da terceira linha, multiplicamos R 3 por 713:
R 3 \leftarrow \left(\frac{7}{13}\right) \cdot R 3 (0 0 1 5).
Em seguida eliminamos z da linha 4:
R 4 \leftarrow R 4 + 107 cdotR 3,
o que gera uma linha nula (0 0 0 0). Assim obtemos a forma escada
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & 27 & 247 0 & 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 6

Da linha 3 vem
z = 5
Substituindo em R 2:
y + tfrac27z = tfrac247implies y + tfrac27cdot5 = tfrac247implies y = 2
Finalmente em R 1:
x + y + z = 6implies x + 2 + 5 = 6implies x = -1

Resposta

(x,y,z) = (-1,,2,,5)

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