Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, exiba um contra-exemplo.
Se A cdot B=0 então B cdot A=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dada a multiplicação de matrizes, vale a implicação
Acdot B = 0 Longrightarrow Bcdot A = 0
O conteúdo envolvido é álgebra linear, mais especificamente as propriedades da multiplicação de matrizes, que em geral não é comutativa.

Passo 2

Para decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa, basta encontrar um contra-exemplo: escolher duas matrizes A e B tais que ,A B = 0 mas ,B A neq 0.

Passo 3

Vamos tomar duas matrizes 2times2:
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0
Calculemos o produto ,A B:
A B = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0
Agora calculemos ,B A:
B A = 0 & 0 1 & 0 1 & 0 0 & 0 = 0cdot1+0cdot0 & 0cdot0+0cdot0 1cdot1+0cdot0 & 1cdot0+0cdot0 = 0 & 0 1 & 0 neq 0 & 0 0 & 0
Portanto, aqui ,A B = 0 mas ,B A neq 0.

Resposta

A afirmativa é falsa. Um contra-exemplo é
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0,
pois A B = 0 mas B A neq 0.

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