Determine o volume de um cone cuja geratriz mede 13 cm , sendo 10 cm o diâmetro de sua base.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um cone. As informações dadas são:
- A geratriz (medida da aresta inclinada desde o vértice até a circunferência da base) vale
. - O diâmetro da base vale
.
O que devemos encontrar: o volume do cone, em
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar. Para um cone circular reto, o volume é dado por
onde:
-
é o volume do cone (em ); -
é a área da base (a base é um círculo); -
é a altura do cone (a distância perpendicular do vértice ao plano da base, em ).
Explicação curta do porquê da fórmula: a área da base de um cone é a mesma de um círculo; a constante
aparece porque o volume de um cone é exatamente um terço do volume de um cilindro com mesma base e mesma altura — isso pode ser visto por comparação geométrica ou por integração. Aqui vamos usar a fórmula direta.
Passo 3
Calcular o raio da base a partir do diâmetro dado. O diâmetro vale
, então o raio
é metade do diâmetro:
Passo 4
Relacionar geratriz, raio e altura. Em um cone reto a geratriz
, o raio
e a altura
formam um triângulo retângulo com hipotenusa
. Portanto vale o teorema de Pitágoras:
Substituindo
e
(todos em
):
Passo 5
Calcular a altura
. Desenvolvendo a equação:
Isolando
:
Como
é positivo,
Passo 6
Calcular a área da base
. A base é um círculo de raio
, cuja área é
Passo 7
Substituir na fórmula do volume. Usando
e
:
Fazendo as multiplicações:
Portanto o volume é
.