Determine o volume de um cone cuja geratriz mede 13 cm , sendo 10 cm o diâmetro de sua base.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone. As informações dadas são:
  • A geratriz (medida da aresta inclinada desde o vértice até a circunferência da base) vale \,13\\ \text{cm}.
  • O diâmetro da base vale \,10\\ \text{cm}.
O que devemos encontrar: o volume do cone, em \text{cm}^3.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. Para um cone circular reto, o volume é dado por
V=\tfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\cdot h,
onde:
  • V é o volume do cone (em \text{cm}^3);
  • A_{\text{base}} é a área da base (a base é um círculo);
  • h é a altura do cone (a distância perpendicular do vértice ao plano da base, em \text{cm}).
Explicação curta do porquê da fórmula: a área da base de um cone é a mesma de um círculo; a constante \tfrac{1}{3} aparece porque o volume de um cone é exatamente um terço do volume de um cilindro com mesma base e mesma altura — isso pode ser visto por comparação geométrica ou por integração. Aqui vamos usar a fórmula direta.

Passo 3

Calcular o raio da base a partir do diâmetro dado. O diâmetro vale \,10\\ \text{cm}, então o raio r é metade do diâmetro:
r=\tfrac{10}{2}=5\\ \text{cm}.

Passo 4

Relacionar geratriz, raio e altura. Em um cone reto a geratriz g, o raio r e a altura h formam um triângulo retângulo com hipotenusa g. Portanto vale o teorema de Pitágoras:
g^{2}=h^{2}+r^{2}.
Substituindo g=13 e r=5 (todos em \text{cm}):
13^{2}=h^{2}+5^{2}.

Passo 5

Calcular a altura h. Desenvolvendo a equação:
169=h^{2}+25.
Isolando h^{2}:
h^{2}=169-25=144.
Como h é positivo,
h=\sqrt{144}=12\\ \text{cm}.

Passo 6

Calcular a área da base A_{\text{base}}. A base é um círculo de raio r=5\\ \text{cm}, cuja área é
A_{\text{base}}=\pi r^{2}=\pi\cdot 5^{2}=\pi\cdot 25=25\pi\\ \text{cm}^{2}.

Passo 7

Substituir na fórmula do volume. Usando A_{\text{base}}=25\pi\\ \text{cm}^{2} e h=12\\ \text{cm}:
V=\tfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\cdot h=\tfrac{1}{3}\cdot(25\pi)\cdot 12.
Fazendo as multiplicações:
(25\pi)\cdot 12=300\pi, \qquad V=\tfrac{1}{3}\cdot 300\pi=100\pi.
Portanto o volume é 100\pi\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

100\pi\\ \text{cm}^{3}

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