Seja S o conjunto das duplas de números reais (x1, x2) com x2>0, onde a soma é definida como
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2 cdot y2)
e a multiplicação por um escalar como
a cdot(x1, x2)=(a cdot x1, x2^a)
Verifique se S é um espaço vetorial, sendo o elemento nulo dado por (0,1) e o elemento negativo de (x1, x2) dado por (-x1, x2^-1). Caso não seja, identifique quais axiomas não são satisfeitos.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S=(x1,x2)inRtimesRmid x2>0
com as operações
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,,x2,y2),
acdot(x1,x2)=(a,x1,,x2^a),
elemento nulo (0,1) e inverso aditivo l(-x1,x2^-1r).
Queremos verificar os dez axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

Verificação de grupo abeliano em (S,+):
Closura: se x2>0 e y2>0 então x2y2>0, logo (x1,x2)+(y1,y2)in S.
Associatividade:
l((x1,x2)+(y1,y2)r)+(z1,z2) =(x1+y1+z1,,x2y2z2) =(x1,x2)+l((y1,y2)+(z1,z2)r)
Comutatividade:
(x1,x2)+(y1,y2) =(x1+y1,x2y2) =(y1+x1,y2x2) =(y1,y2)+(x1,x2)
Elemento nulo:
(x1,x2)+(0,1)=(x1,x2cdot1)=(x1,x2).
Inverso:
(x1,x2)+(-x1,x2^-1)=(0,,x2x2^-1)=(0,1).

Passo 3

Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar:
Closura: se x2>0 então x2^a>0, logo acdot(x1,x2)in S.
Unidade:
1cdot(x1,x2)=(1cdot x1,x2^1)=(x1,x2)
Compatibilidade com soma de escalares:
(a+b)cdot(x1,x2) =l((a+b)x1,,x2^a+br) =(a x1+b x1,,x2^ax2^b) =(acdot(x1,x2))+(bcdot(x1,x2))
Compatibilidade com soma de vetores:
acdotl((x1,x2)+(y1,y2)r) =acdot(x1+y1,,x2y2) =l(a(x1+y1),,(x2y2)^ar) =(a x1+a y1,,x2^ay2^a)
=,(acdot(x1,x2))+(acdot(y1,y2))
Associatividade de escalares:
(ab)cdot(x1,x2) =l(ab,x1,,x2^abr) =acdotl(b x1,x2^br) =acdotl(bcdot(x1,x2)r)
Anulação por zero escalar:
0cdot(x1,x2) =(0cdot x1,,x2^0) =(0,1),
que é o elemento nulo.
Anulação por zero vetorial:
acdot(0,1)=(acdot0,,1^a)=(0,1)

Resposta

O conjunto S com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Portanto, S é de fato um espaço vetorial.

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