Seja
o conjunto das duplas de números reais
com
, onde a soma é definida como
e a multiplicação por um escalar como
Verifique se
é um espaço vetorial, sendo o elemento nulo dado por
e o elemento negativo de
dado por
. Caso não seja, identifique quais axiomas não são satisfeitos.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
com as operações
elemento nulo
e inverso aditivo
.
Queremos verificar os dez axiomas de espaço vetorial sobre o corpo .
Queremos verificar os dez axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
Passo 2
Verificação de grupo abeliano em
:
Closura: se e
então
, logo
.
Associatividade:
Closura: se
Associatividade:
Comutatividade:
Elemento nulo:
.
Inverso:
.
Inverso:
Passo 3
Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar:
Closura: se então
, logo
.
Unidade:
Closura: se
Unidade:
Compatibilidade com soma de escalares:
Compatibilidade com soma de vetores:
Associatividade de escalares:
Anulação por zero escalar:
que é o elemento nulo.
Anulação por zero vetorial:
Anulação por zero vetorial:
Resposta
O conjunto
com as operações dadas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto,
é de fato um espaço vetorial.