Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty x^nn raizn 3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^nn raizn 3^n. Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e vamos utilizar o Teste da Razão para descobrir essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série converge ou diverge. Basicamente, a gente calcula o limite da razão entre o termo geral |an+1/an| quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = x^nn raizn 3^n
Agora, vamos calcular an+1 :
an+1 = x^n+1(n+1) raizn+1 3^n+1

Passo 4

Aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo os termos:
L = limn to infty | x^n+1(n+1) raizn+1 3^n+1x^nn raizn 3^n |
Isso simplifica para:
L = limn to infty | x cdot n raizn3 (n+1) raizn+1 |

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
L = limn to infty | x3 cdot n raizn(n+1) raizn+1 |
Podemos separar os fatores:
L = | x3 | cdot limn to infty n raizn(n+1) raizn+1

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite restante:
limn to infty n raizn(n+1) raizn+1
Podemos dividir numerador e denominador por n raizn:
= limn to infty 1(1 + 1n) raiz1 + 1n
Quando n tende ao infinito, 1n tende a 0:
= 11 cdot 1 = 1

Passo 7

Voltando ao L:
L = | x3 | cdot 1 = | x3 |
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
| x3 | < 1

Passo 8

Resolvendo a desigualdade:
| x | < 3
Isso significa que o raio de convergência R é 3.

Passo 9

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais x = -3 e x = 3.
Primeiro, para x = 3:
sumn=1^infty 3^nn raizn 3^n = sumn=1^infty 1n raizn = sumn=1^infty 1n^3/2
Essa série é convergente porque é uma série p com p = 3/2 > 1.
Agora, para x = -3:
sumn=1^infty (-3)^nn raizn 3^n = sumn=1^infty (-1)^nn raizn
Essa é uma série alternada. Além disso, os termos 1n raizn tendem a zero e são decrescentes, então a série converge por completo pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

O raio de convergência é R = 3 e o intervalo de convergência é [-3, 3].

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