Determine os valores de potencia

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de potência Pinfty e energia Einfty do sinal dado, considerando um intervalo de tempo infinito. O sinal é definido por:
x(t) = 5 cos (pi t) & para -1 <= t <= 1 0 & caso contrário á
Vamos precisar entender os conceitos de energia de um sinal e potência de um sinal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do sinal. A energia E de um sinal x(t) é dada pela integral do quadrado do sinal ao longo de todo o tempo:
E = integral-infty^infty |x(t)|^2 , dt
Como nosso sinal é zero fora de [-1, 1], podemos simplificar a integral para esse intervalo.

Passo 3

Vamos substituir x(t) na fórmula da energia:
E = integral-1^1 [5 cos (pi t)]^2 , dt = 25 integral-1^1 cos^2 (pi t) , dt
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para integrar cos^2 (pi t) , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 (theta) = 1 + cos (2theta)2
Aplicando isso:
25 integral-1^1 cos^2 (pi t) , dt = 25 integral-1^1 1 + cos (2pi t)2 , dt = 252 integral-1^1 (1 + cos (2pi t)) , dt

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
252 [ integral-1^1 1 , dt + integral-1^1 cos (2pi t) , dt ]
A primeira integral é simples:
integral-1^1 1 , dt = 2
A segunda integral, integral-1^1 cos (2pi t) , dt , é zero, porque a função cos é ímpar em relação ao intervalo simétrico [-1, 1].
Então:
E = 252 times 2 = 25

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência do sinal. A potência P é definida como:
P = limT to infty 12T integral-T^T |x(t)|^2 , dt
Como nosso sinal é não-nulo apenas em [-1, 1] e zero caso contrário, a integral de energia em qualquer intervalo infinito será apenas a energia que já calculamos, que é 25. Então:
P = limT to infty 252T = 0

Resposta

Os valores são:
Einfty = 25 e Pinfty = 0

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