A velocidade do som no oceano é uma função da temperatura ( T), da salinidade ( S) e da profundidade ( h), sendo modelada de acordo com a equação:
v(T, S, h)=1449,2+4,6 T-0,055 T^2+0,00029 T^3+(1,34-0,01 T)(S-35)+0,016 h
na qual v está em m / s, T em ^circ C, S em partes por milhar e h. em metros.
Considerando a função do item b, v(20,35, h), determine em que profundidade a velocidade do som é de 1530 m / s.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do som no oceano como função de temperatura T, salinidade S e profundidade h:
v(T,S,h)=1449,2 + 4,6,T - 0,055,T^2 + 0,00029,T^3 + (1,34 - 0,01,T)(S-35) + 0,016,h
No item pedido, fixamos T=20 e S=35, obtendo a função de uma única variável h:
v(20,35,h)=1530;
Precisamos achar o valor de h que satisfaz essa equação.

Passo 2

Substituindo T=20 e S=35 na expressão, o termo (1,34-0,01,T)(S-35) zera porque S-35=0. Então escrevemos
v(20,35,h)=A + 0,016,h,
onde
A = 1449,2 + 4,6cdot 20 - 0,055cdot 20^2 + 0,00029cdot 20^3
Calculando cada parcela:
4,6cdot 20 = 92, 0,055cdot 20^2=0,055cdot 400 = 22, 0,00029cdot 20^3=0,00029cdot 8000 = 2,32
Logo,
A = 1449,2 + 92 - 22 + 2,32 = 1521,52

Passo 3

Agora impomos v(20,35,h)=1530, isto é,
1521,52 + 0,016,h = 1530
Isolando h:
0,016,h = 1530 - 1521,52 = 8,48 Longrightarrow h = 8,480,016 = 530

Resposta

A profundidade é 530 metros.

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