Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=0^infty2^n(2n)!x^2n
e pede o raio e o intervalo de convergência. Como é uma série de potências em x, mas com termos apenas de grau 2n, vamos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Denote
Tn = 2^n(2n)!x^2n
Aplicando o critério da razão, calculamos
|Tn+1||Tn| = 2^n+1(2n+2)!,|x|^2n+22^n(2n)!,|x|^2n = 2,|x|^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Analisando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|Tn+1||Tn| = limntoinfty2,|x|^2(2n+2)(2n+1) = 0
Como esse limite é 0<1 para todo x, pelo critério da razão a série converge para qualquer valor de x. Logo o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é R = infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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