Seja R a região do espaço limitada lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1, inferiormente pelo plano z=-1 e superiormente pelo plano y+z=2. Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(y-z) i+(-x+y-2) j+(x+z) k,
Use o item anterior para calcular o fluxo de F em S1, a superfície lateral de R, onde S1 está orientada com campo normal n1 apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(y-z),i+(-x+y-2),j+(x+z),k através da superfície lateral S1 do sólido R limitado por
bul<=t o cilindro x^2+y^2=1,
bul<=t o plano inferior z=-1,
bul<=t o plano superior y+z=2,
orientado com o vetor normal saindo de R.
Vamos usar o Teorema da Divergência para achar o fluxo total pela fronteira de R e depois subtrair o fluxo pelas bases superior e inferior, sobrando o fluxo em S1.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla!cdot!F =partialpartial x(y-z) +partialpartial y(-x+y-2) +partialpartial z(x+z) =0+1+1=2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela fronteira partial R é
Phirm total =integral triplaR(nabla!cdot!F),dV =integral triplaR2,dV
Em coordenadas cartesianas, projetamos R no disco D!:x^2+y^2<=1, com z variando de -1 até 2-y. Logo
Phirm total =integral duplaDl[2l((2-y)-(-1)r)r],dA =integral duplaD2(3-y),dA =integral duplaD(6-2y),dA
Como integralDy,dA=0 por simetria e mathoparea(D)=pi, segue
Phirm total =6integral duplaDdA =6pi

Passo 3

Fluxo através da base inferior S2colon z=-1. O normal externo aponta para baixo, n=-k.
Phi2 =integral duplaDF(x,y,-1)cdot(-k),dA =integral duplaDl[-(x+z)r]z=-1dA =integral duplaD[-(x-1)],dA =integral duplaD(-x+1),dA
Pela simetria, integral duplaDx,dA=0, então
Phi2 =integral duplaD1,dA =pi

Passo 4

Fluxo através da base superior S3colon y+z=2. Parametrizamos por (x,y) no mesmo disco D, com
r(x,y)=(x,y,2-y).
Então
rxtimesry=(0,1,1) aponta para fora.
Phi3 =integral duplaDF(x,y,2-y)cdot(0,1,1),dA =integral duplaDl[(-x+y-2)+(x+(2-y))r],dA =integral duplaD0,dA =0

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência,
Phirm total=Phi1+Phi2+Phi3.
Isolando o fluxo lateral Phi1 em S1,
Phi1 =Phirm total-Phi2-Phi3 =6pi-pi-0 =5pi

Resposta

O fluxo de F através de S1 é 5pi.

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