Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de x a série realmente soma para um valor finito. Para fazer isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar ela mais fácil de trabalhar. Observa que o índice de n começa em 2 e o expoente é n-1. Podemos reescrever a série começando de n=1 para facilitar:
sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2 = sumn=1^infty (x+5)^n(n+1)^2
Agora, a série está na forma sum an (x - c)^n, onde c = -5.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.
O Teste da Razão diz que a série sum an converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Vamos identificar an na nossa série:
an = (x+5)^n(n+1)^2
Então,
an+1 = (x+5)^n+1(n+2)^2
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x+5)^n+1(n+2)^2 cdot (n+1)^2(x+5)^n | = limn to infty |x+5| cdot ( n+1n+2 )^2

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty |x+5| cdot ( n+1n+2 )^2 = |x+5| cdot limn to infty ( n+1n+2 )^2 = |x+5| cdot 1 = |x+5|
Para que a série converja, esse limite deve ser menor que 1:
|x+5| < 1

Passo 5

Agora, resolvemos a desigualdade:
|x+5| < 1 implies -1 < x + 5 < 1
Subtraindo 5 de todas as partes:
-6 < x < -4
Então, o raio de convergência R é 1, e o intervalo de convergência é -6 < x < -4.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -6 < x < -4.

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