Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de a série realmente soma para um valor finito. Para fazer isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar ela mais fácil de trabalhar. Observa que o índice de começa em 2 e o expoente é . Podemos reescrever a série começando de para facilitar:
Agora, a série está na forma , onde .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que a série converge se:
Vamos identificar an na nossa série:
an = (x+5)^n(n+1)^2
Então,
an+1 = (x+5)^n+1(n+2)^2
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x+5)^n+1(n+2)^2 cdot (n+1)^2(x+5)^n | = limn to infty |x+5| cdot ( n+1n+2 )^2