A série é a soma sobre n de termos \dfrac{(5^{n}+5^{-n})(x+1)^{3n-2}}{n^{2}}.
Preciso encontrar:
o raio de convergência (em x) da série (ou seja, o raio em torno do ponto central da série),
o intervalo de convergência real (testando também os pontos da fronteira).
Dados relevantes extraídos do enunciado: o centro natural da série é x=-1 (porque aparece x+1), e o expoente está em múltiplos de 3 salvo um deslocamento -2.
Passo 2
Primeiro vou reescrever a série para facilitar o estudo da convergência. Note que
(x+1)^{3n-2}=(x+1)^{-2}\,(x+1)^{3n}.
Logo a série pode ser escrita como o produto de uma constante (em n) por uma série em potências de (x+1)^{3}:
Explico essa fórmula de forma simples: a quantidade \sqrt[n]{|c_n|} mede o crescimento exponencial dos coeficientes c_n; o menor raio possível é o inverso do limite superior desse crescimento. Esse é um resultado padrão (fórmula de Cauchy–Hadamard) para séries de potências.
Passo 4
Calculo \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|} com c_n=\dfrac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}.
Observe que, para n grande, 5^{n} domina 5^{-n}, então 5^{n}+5^{-n}\sim 5^{n}. Faço a conta mais explícita:
Agora uso dois limites conhecidos: \sqrt[n]{1+5^{-2n}}\to 1 quando n\to\infty, e n^{2/n}\to 1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=5.
Passo 5
Aplicando a fórmula do raio em y temos
R_y=\frac{1}{5}.
Isto significa que a série em y converge absolutamente para |y|<\dfrac{1}{5} e diverge para |y|>\dfrac{1}{5}. Nota: pontos na fronteira |y|=1/5 devem ser verificados separadamente.
Passo 6
Volto à variável x usando y=(x+1)^{3}. A condição |y|<\dfrac{1}{5} vira
Então a primeira soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que converge (é a série p com p=2). A segunda soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/25)^{n}}{n^{2}}, que converge absolutamente (termómetro geométrico pequeno). Portanto a soma total em y=1/5 converge absolutamente.
A primeira soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}, que converge absolutamente (novamente porque \sum 1/n^2 converge). A segunda soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1/25)^{n}}{n^{2}}, que também converge absolutamente. Logo a soma total em y=-1/5 converge absolutamente.
Além disso o fator multiplicativo externo (x+1)^{-2} permanece finito em ambos os pontos da fronteira: quando |x+1|=5^{-1/3} temos (x+1)^{-2}=5^{2/3}, que é finito. Assim a presença desse fator não estraga a convergência.
Passo 9
Conclusão sobre a fronteira: em ambos os pontos x=-1\pm 5^{-1/3} a série converge (de fato converge absolutamente). Portanto o intervalo de convergência real é fechado, com extremos incluídos.
Resposta
Raio de convergência: R=5^{-1/3}.\nIntervalo de convergência: \left[-1-5^{-1/3},-1+5^{-1/3}\right].