Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x+1)^{3 n-2}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x+1)^{3 n-2}}{n^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série é a soma sobre n de termos \dfrac{(5^{n}+5^{-n})(x+1)^{3n-2}}{n^{2}}.
  • Preciso encontrar:
    1. o raio de convergência (em x) da série (ou seja, o raio em torno do ponto central da série),
    2. o intervalo de convergência real (testando também os pontos da fronteira).
  • Dados relevantes extraídos do enunciado: o centro natural da série é x=-1 (porque aparece x+1), e o expoente está em múltiplos de 3 salvo um deslocamento -2.

Passo 2

Primeiro vou reescrever a série para facilitar o estudo da convergência. Note que
(x+1)^{3n-2}=(x+1)^{-2}\,(x+1)^{3n}.
Logo a série pode ser escrita como o produto de uma constante (em n) por uma série em potências de (x+1)^{3}:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x+1)^{3 n-2}}{n^{2}} = (x+1)^{-2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}\bigl((x+1)^{3}\bigr)^{n}.
Para simplificar a escrita, faço a mudança de variável
y := (x+1)^{3}.
Então o estudo da convergência fica concentrado na série em y
\sum_{n=1}^{\infty} c_n y^n,\qquad\text{onde}\qquad c_n:=\frac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}.
(Depois reaplico y=(x+1)^3 para obter o raio em x.)

Passo 3

Agora vou calcular o raio de convergência dessa série em y. Para uma série de potências \sum c_n y^n o raio de convergência R_y é dado pela fórmula
R_y = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}.
Explico essa fórmula de forma simples: a quantidade \sqrt[n]{|c_n|} mede o crescimento exponencial dos coeficientes c_n; o menor raio possível é o inverso do limite superior desse crescimento. Esse é um resultado padrão (fórmula de Cauchy–Hadamard) para séries de potências.

Passo 4

Calculo \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|} com c_n=\dfrac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}.
Observe que, para n grande, 5^{n} domina 5^{-n}, então 5^{n}+5^{-n}\sim 5^{n}. Faço a conta mais explícita:
\sqrt[n]{|c_n|}=\sqrt[n]{\frac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}} = \frac{\sqrt[n]{5^{n}\bigl(1+5^{-2n}\bigr)}}{\sqrt[n]{n^{2}}} = \frac{5\cdot\sqrt[n]{1+5^{-2n}}}{n^{2/n}}.
Agora uso dois limites conhecidos: \sqrt[n]{1+5^{-2n}}\to 1 quando n\to\infty, e n^{2/n}\to 1. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=5.

Passo 5

Aplicando a fórmula do raio em y temos
R_y=\frac{1}{5}.
Isto significa que a série em y converge absolutamente para |y|<\dfrac{1}{5} e diverge para |y|>\dfrac{1}{5}. Nota: pontos na fronteira |y|=1/5 devem ser verificados separadamente.

Passo 6

Volto à variável x usando y=(x+1)^{3}. A condição |y|<\dfrac{1}{5} vira
\bigl|(x+1)^{3}\bigr|<\frac{1}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|<\left(\frac{1}{5}\right)^{1/3}=5^{-1/3}.
Portanto o raio de convergência em x, em torno do ponto central x=-1, é
R = 5^{-1/3}.
Ou seja, a série converge (absolutamente) para todos x com |x+1|<5^{-1/3}.

Passo 7

Agora preciso testar os pontos da fronteira real, isto é x tais que |x+1|=5^{-1/3}. Há dois candidatos:
x = -1 + 5^{-1/3}\quad\text{e}\quad x = -1 - 5^{-1/3}.
Nesses pontos temos (x+1)=\pm 5^{-1/3}, e consequentemente
y=(x+1)^3 = \pm 5^{-1}=\pm\frac{1}{5}.
É conveniente decompor a série interna em duas séries (como já aparecia):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}y^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5y)^{n}}{n^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(y/5)^{n}}{n^{2}}.

Passo 8

Verifico convergência em cada caso de y:
  • Caso y=\dfrac{1}{5}:
    5y=1\quad\text{e}\quad \frac{y}{5}=\frac{1}{25}.
    Então a primeira soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que converge (é a série p com p=2). A segunda soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/25)^{n}}{n^{2}}, que converge absolutamente (termómetro geométrico pequeno). Portanto a soma total em y=1/5 converge absolutamente.
  • Caso y=-\dfrac{1}{5}:
    5y=-1\quad\text{e}\quad \frac{y}{5}=-\frac{1}{25}.
    A primeira soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}, que converge absolutamente (novamente porque \sum 1/n^2 converge). A segunda soma é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1/25)^{n}}{n^{2}}, que também converge absolutamente. Logo a soma total em y=-1/5 converge absolutamente.
Além disso o fator multiplicativo externo (x+1)^{-2} permanece finito em ambos os pontos da fronteira: quando |x+1|=5^{-1/3} temos (x+1)^{-2}=5^{2/3}, que é finito. Assim a presença desse fator não estraga a convergência.

Passo 9

Conclusão sobre a fronteira: em ambos os pontos x=-1\pm 5^{-1/3} a série converge (de fato converge absolutamente). Portanto o intervalo de convergência real é fechado, com extremos incluídos.

Resposta

Raio de convergência: R=5^{-1/3}.\nIntervalo de convergência: \left[-1-5^{-1/3},-1+5^{-1/3}\right].

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