Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido comum à bola x^2+y^2+z^2 <= 4 a^2 e ao cilindro sólido x^2+y^2 <= a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da região que está dentro da bola x^2+y^2+z^2 <= 4a^2 e também dentro do cilindro x^2+y^2 <= a^2. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular. Vamos precisar saber como transformar as equações para coordenadas cilíndricas e como montar a integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
A equação da bola fica:
r^2 + z^2 <= 4a^2
E a do cilindro fica:
r <= a
Isso significa que o raio r varia de 0 até a, já que estamos dentro do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. O ângulo theta vai de 0 a 2pi para cobrir toda a volta do cilindro. O raio r vai de 0 a a. Para a coordenada z, dentro da bola, temos que:
z <= raiz4a^2 - r^2 e z >= -raiz4a^2 - r^2
Então, z varia de -raiz4a^2 - r^2 até raiz4a^2 - r^2.

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular o volume V:
V = integral0^2pi integral0^a integral-raiz4a^2-r^2^raiz4a^2-r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo r é o jacobiano das coordenadas cilíndricas, que ajusta a medida na integral.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integral-raiz4a^2-r^2^raiz4a^2-r^2 dz = 2raiz4a^2-r^2
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^a 2r raiz4a^2-r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r. Fazemos uma substituição para facilitar:
u = 4a^2 - r^2 Rightarrow du = -2r , dr Rightarrow r , dr = -du2
A integral em r fica:
2 integral0^a r raiz4a^2-r^2 , dr = 2 cdot ( -12 integral4a^2^3a^2 raizu , du ) = integral3a^2^4a^2 u^1/2 , du
Integrando:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 |3a^2^4a^2 = 23 ( (4a^2)^3/2 - (3a^2)^3/2 ) = 23 ( 8a^3 - 3raiz3a^3 ) = 16a^3 - 6raiz3a^33

Passo 7

Por último, integramos em relação a theta:
V = integral0^2pi ( 16a^3 - 6raiz3a^33 ) dtheta = ( 16a^3 - 6raiz3a^33 ) cdot 2pi = 32pi a^3 - 12piraiz3a^33
Simplificando:
V = ( 323pi - 4piraiz3 ) a^3

Resposta

O volume do sólido comum à bola e ao cilindro é:
V = ( 323pi - 4piraiz3 ) a^3

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