Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido comum à bola e ao cilindro sólido .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da região que está dentro da bola e também dentro do cilindro . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular. Vamos precisar saber como transformar as equações para coordenadas cilíndricas e como montar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação da bola fica:
E a do cilindro fica:
Isso significa que o raio varia de 0 até , já que estamos dentro do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a volta do cilindro. O raio vai de 0 a . Para a coordenada , dentro da bola, temos que:
Então, varia de até .
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular o volume :
Aqui, o termo é o jacobiano das coordenadas cilíndricas, que ajusta a medida na integral.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a . Fazemos uma substituição para facilitar: