Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(x+5)^n-1n^2
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, seguido da verificação nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão de forma direta, reindexamos colocando m=n-1. Assim a série vira
summ=0^infty(x+5)^m(m+1)^2
Agora o coeficiente geral é am=1(m+1)^2 e o termo em potência é (x+5)^m.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, consideramos
L ;=;limmtoinfty|am+1(x+5)^m+1am(x+5)^m| =limmtoinftyl|x+5r|;(m+1)^2(m+2)^2 =l|x+5r|
Para convergência é preciso L<1, ou seja
l|x+5r|<1
Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 4

Agora testamos os extremos ,x+5=pm1.
Para x+5=1 (ou seja x=-4), a série torna-se
sumn=1^infty1^,n-1n^2 =sumn=1^infty1n^2,
que converge (série p-com p=2>1).
Para x+5=-1 (ou seja x=-6), a série é
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^2,
que converge absolutamente (novamente por p-série com p=2).

Passo 5

Concluímos que a série converge para
-1<= x+5<= 1 Long<=ftrightarrow -6<= x<= -4

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: l[-6,,-4r].

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