Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de potências, seguido da verificação nos extremos do intervalo.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão de forma direta, reindexamos colocando
. Assim a série vira
Agora o coeficiente geral é
e o termo em potência é
.
Passo 3
Aplicando o teste da razão, consideramos
Para convergência é preciso
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
Passo 4
Agora testamos os extremos
,x+5=pm1 .
Para
x+5=1 (ou seja
x=-4 ), a série torna-se
que converge (série
p -com
p=2>1 ).
Para
x+5=-1 (ou seja
x=-6 ), a série é
que converge absolutamente (novamente por
p -série com
p=2 ).
Passo 5
Concluímos que a série converge para
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:l[-6,,-4r] .
Intervalo de convergência: