A integral iterada integral0^2 pi d theta integral0^pi2 sin 2 varphi d varphi integral0^2 cos varphi rho^3 raiz4-rho^2 d rho representa, em coordenadas esféricas, a integral tripla de f(x, y, z) sobre uma certa região Omegaxyz subset Rxyz^3.
Esboce Omegaxyz e determine f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral tripla em coordenadas esféricas e pediu para a gente desenhar a região Omegaxyz onde essa integral está acontecendo e descobrir qual é a função f(x, y, z) que está sendo integrada. A matéria envolve integração em coordenadas esféricas, então vamos usar isso para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que você nos deu:
integral0^2pi dtheta integral0^pi2 sin 2varphi , dvarphi integral0^2 cos varphi rho^3 raiz4 - rho^2 , drho
Essa é uma integral tripla em coordenadas esféricas, onde rho é a distância do ponto à origem, varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e theta é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Vamos entender os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi: Isso significa que vamos dar a volta completa em torno do eixo z.
  • varphi varia de 0 a pi2: O ângulo polar vai do eixo z até o plano xy.
  • rho varia de 0 a 2 cos varphi: A distância rho depende do ângulo varphi, o que indica que estamos descrevendo uma região específica em 3D.

Passo 4

Para desenhar a região Omegaxyz, vamos focar na parte onde rho varia de 0 a 2 cos varphi. Isso nos lembra a equação da esfera em coordenadas esféricas. Sabemos que a equação de uma esfera com raio a é rho = 2a. Aqui, temos rho = 2 cos varphi, o que sugere que a região está limitada por uma esfera cuja “altura” depende do ângulo varphi.
Desenhando isso, vemos que a região é como uma “cúpula” que se estende do eixo z até o plano xy, com o raio máximo de rho = 2 quando varphi = 0 (no topo da esfera).

Passo 5

Agora, vamos determinar a função f(x, y, z). Lembre-se que, em coordenadas esféricas, uma integral tripla é geralmente escrita como:
integral triplaOmega f(x, y, z) , rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta
Comparando isso com a integral que temos:
integral0^2pi dtheta integral0^pi2 sin 2varphi , dvarphi integral0^2 cos varphi rho^3 raiz4 - rho^2 , drho
Perceba que o que está sendo integrado é rho^3 raiz4 - rho^2. Então, temos:
f(x, y, z) cdot rho^2 sin varphi = rho^3 raiz4 - rho^2
Para encontrar f(x, y, z), vamos dividir ambos os lados por rho^2 sin varphi:
f(x, y, z) = rho^3 raiz4 - rho^2rho^2 sin varphi = rho raiz4 - rho^2sin varphi

Passo 6

Agora, vamos expressar f(x, y, z) em termos de coordenadas cartesianas ( x, y, z). Sabemos que:
  • rho = raizx^2 + y^2 + z^2
  • sin varphi = raizx^2 + y^2rho
Substituindo esses na expressão para f(x, y, z):
f(x, y, z) = rho raiz4 - rho^2raizx^2 + y^2rho = rho^2 raiz4 - rho^2raizx^2 + y^2
Então, f(x, y, z) em coordenadas cartesianas é:
f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2) raiz4 - (x^2 + y^2 + z^2)raizx^2 + y^2

Passo 7

Resumindo:
  • Região Omegaxyz: Uma cúpula esférica limitada pela equação rho = 2 cos varphi, que se estende do eixo z até o plano xy, com rho variando de 0 a 2 no topo.
  • Função f(x, y, z):
f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz4 - (x^2 + y^2 + z^2)raizx^2 + y^2

Resposta

A região Omegaxyz é uma cúpula esférica limitada por rho = 2 cos varphi, se estendendo do eixo z até o plano xy. A função integranda é:
f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 cdot raiz4 - (x^2 + y^2 + z^2)raizx^2 + y^2

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