A integral iterada
representa, em coordenadas esféricas, a integral tripla de
sobre uma certa região
.
Esboce
e determine
.
Esboce
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral tripla em coordenadas esféricas e pediu para a gente desenhar a região
onde essa integral está acontecendo e descobrir qual é a função
que está sendo integrada. A matéria envolve integração em coordenadas esféricas, então vamos usar isso para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que você nos deu:
Essa é uma integral tripla em coordenadas esféricas, onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e
é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 3
Vamos entender os limites de integração:
-
varia de a : Isso significa que vamos dar a volta completa em torno do eixo z. -
varia de a : O ângulo polar vai do eixo z até o plano xy. -
varia de a : A distância depende do ângulo , o que indica que estamos descrevendo uma região específica em 3D.
Passo 4
Para desenhar a região
, vamos focar na parte onde
varia de
a
. Isso nos lembra a equação da esfera em coordenadas esféricas. Sabemos que a equação de uma esfera com raio
é
. Aqui, temos
, o que sugere que a região está limitada por uma esfera cuja “altura” depende do ângulo
.
Desenhando isso, vemos que a região é como uma “cúpula” que se estende do eixo z até o plano xy, com o raio máximo de
quando
(no topo da esfera).
Passo 5
Agora, vamos determinar a função
. Lembre-se que, em coordenadas esféricas, uma integral tripla é geralmente escrita como:
Comparando isso com a integral que temos:
Perceba que o que está sendo integrado é
. Então, temos:
Para encontrar
, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos expressar
em termos de coordenadas cartesianas (
,
,
). Sabemos que:
Substituindo esses na expressão para
:
Então,
em coordenadas cartesianas é:
Passo 7
Resumindo:
- Região
: Uma cúpula esférica limitada pela equação , que se estende do eixo z até o plano xy, com variando de a no topo. - Função
:
Resposta
A região
é uma cúpula esférica limitada por
, se estendendo do eixo z até o plano xy. A função integranda é: