Utilize o Teste da Razão para estudar a convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que eu use o Teste da Razão para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{4^{n}}.
Informações dadas e o que se quer: a série é formada pelos termos a_n=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}. Precisa-se aplicar o Teste da Razão (ou de d’Alembert) para concluir se a série converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definição e ideia do Teste da Razão (mini-aula):
O Teste da Razão analisa o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 ou L=+\infty, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo e é necessário outro método.
Aqui a_n=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}. Vou calcular explicitamente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e o limite L.

Passo 3

Escrevendo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n^{3}}{4^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)^{3}}{4^{\,n+1}}.
Formar a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{3}}{4^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{3}}{4^{n}}} = \frac{(n+1)^{3}}{4^{\,n+1}}\cdot\frac{4^{n}}{n^{3}}.

Passo 4

Simplificando a expressão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\cdot\frac{4^{n}}{4^{\,n+1}} = \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\cdot\frac{1}{4}.
Ou seja,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{4}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}.

Passo 5

Calcular o limite L:
Observe que \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}. Expansão ou propriedade de limites dá
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3} =1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}.
Tomando limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{3}=1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação pelo Teste da Razão:
Como L=\dfrac{1}{4}<1, o Teste da Razão garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{4^{n}} converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (sim, é ainda melhor: os termos em valor absoluto também formam uma série convergente).

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois L=\dfrac{1}{4}<1.

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