Utilize o Teste da Razão para estudar a convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{4^{n}}
Passo 1
O enunciado pede que eu use o Teste da Razão para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{4^{n}}.
Informações dadas e o que se quer: a série é formada pelos termos a_n=\dfrac{n^{3}}{4^{n}}. Precisa-se aplicar o Teste da Razão (ou de d’Alembert) para concluir se a série converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.
Passo 2
Definição e ideia do Teste da Razão (mini-aula):
O Teste da Razão analisa o limite
Interpretação pelo Teste da Razão:
Como L=\dfrac{1}{4}<1, o Teste da Razão garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{3}}{4^{n}} converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (sim, é ainda melhor: os termos em valor absoluto também formam uma série convergente).
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge), pois L=\dfrac{1}{4}<1.