O limite \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8+3 x-x^{2}}{4 x^{2}+6 x+1}= \qquad .

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{8 + 3x - x^2}{4x^2 + 6x + 1}.
Isso é um limite de função racional no infinito. O conteúdo principal é comparar os graus dos polinômios e dividir tudo pelo maior grau de x, que aqui é x^2.

Passo 2

Vamos dividir numerador e denominador por x^2. Assim escrevemos
\frac{8 + 3x - x^2}{4x^2 + 6x + 1} = \frac{\frac{8}{x^2} + \frac{3}{x} - 1}{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}}.

Passo 3

Quando x\to\infty, temos \tfrac{8}{x^2}\to0, \tfrac{3}{x}\to0, \tfrac{6}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0.
Logo o quociente tende a
\frac{0 + 0 - 1}{4 + 0 + 0} = -\frac{1}{4}.

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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