Determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge
(b) absolutamente e\text{(c)} condicionalmente?
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-\sqrt{2})^{2 n+1}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=\sqrt{2}:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n}.
Para resolver, vamos reconhecer essa soma como uma série geométrica em (x-\sqrt{2})^2 e usar o critério de convergência de séries geométricas.

Passo 2

Reescrevendo a soma, separamos o primeiro fator:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n} =(x-\sqrt{2})\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{(x-\sqrt{2})^2}{2}\right)^{n}.
Aqui a parte interna é uma série geométrica com termo geral r^n, onde
r = \frac{(x-\sqrt{2})^2}{2}.

Passo 3

Lembrando que a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge se, e somente se, |r|<1, exigimos
\left|\frac{(x-\sqrt{2})^2}{2}\right|<1 \quad\Longrightarrow\quad (x-\sqrt{2})^2<2 \quad\Longrightarrow\quad |x-\sqrt{2}|<\sqrt{2}.
Dessa forma o raio de convergência é
R = \sqrt{2}.

Passo 4

O intervalo de convergência, centrado em \sqrt{2} com raio \sqrt{2}, é
\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{2},\,\sqrt{2}+\sqrt{2}\bigr) =(0,\,2\sqrt{2}).

Passo 5

Agora testamos as extremidades:
  • Em x=0, temos x-\sqrt{2}=-\sqrt{2}, e a série vira \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n} =-\sqrt{2}\sum_{n=0}^{\infty}1,que diverge.
  • Em x=2\sqrt{2}, temos x-\sqrt{2}=+\sqrt{2}, e a série fica \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n} =\sqrt{2}\sum_{n=0}^{\infty}1,que também diverge.
Como não há convergência em nenhuma das extremidades, não existe região de convergência condicional fora do interior do intervalo.

Resposta

Raio de convergência: R=\sqrt{2}.
Intervalo de convergência: (0,\,2\sqrt{2}).
Converge absolutamente para \bigl|x-\sqrt{2}\bigr|<\sqrt{2}.
Não há valores de x em que a série converge apenas condicionalmente.

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