Determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge
(b) absolutamente e\text{(c)} condicionalmente? \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-\sqrt{2})^{2 n+1}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=\sqrt{2}:
Em x=0, temos x-\sqrt{2}=-\sqrt{2}, e a série vira\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n} =-\sqrt{2}\sum_{n=0}^{\infty}1,que diverge.
Em x=2\sqrt{2}, temos x-\sqrt{2}=+\sqrt{2}, e a série fica\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\sqrt{2})^{2n+1}}{2^n} =\sqrt{2}\sum_{n=0}^{\infty}1,que também diverge.
Como não há convergência em nenhuma das extremidades, não existe região de convergência condicional fora do interior do intervalo.
Resposta
Raio de convergência: R=\sqrt{2}.
Intervalo de convergência: (0,\,2\sqrt{2}).
Converge absolutamente para \bigl|x-\sqrt{2}\bigr|<\sqrt{2}.
Não há valores de x em que a série converge apenas condicionalmente.