2 pontos) Encontre a solução do PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + y = \sin(2t),\quad y(0)=2,\quad y'(0)=1,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante \sin(2t). Vamos usar o método da soma da solução homogênea com uma solução particular (método dos coeficientes a solucionar).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + y = 0.
A equação característica é \lambda^2 + 1 = 0, com raízes \lambda = \pm i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = A\cos(t) + B\sin(t).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) para
y'' + y = \sin(2t).
Como o forçamento é \sin(2t) e 2 não é raiz da característica, tentamos
y_p(t) = a\cos(2t) + b\sin(2t).
Então
y_p'' = -4a\cos(2t) -4b\sin(2t)
e
y_p'' + y_p = (-4a+a)\cos(2t) +(-4b+b)\sin(2t) = -3a\cos(2t) -3b\sin(2t).
Igualando a \sin(2t) obtemos
-3a = 0,\quad -3b = 1 \quad\Longrightarrow\quad a=0,\; b=-\tfrac13.
Logo
y_p(t) = -\tfrac13\sin(2t).

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = A\cos(t) + B\sin(t) - \tfrac13\sin(2t).
Impondo as condições iniciais:
y(0)=A - 0 - 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad A=2,
y'(t) = -A\sin(t) + B\cos(t) - \tfrac23\cos(2t),
y'(0)=0 + B - \tfrac23 = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 + \tfrac23 = \tfrac53.

Resposta

y(t) = 2\cos(t) + \tfrac53\sin(t) - \tfrac13\sin(2t).

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