(2 pontos) Resolva a seguinte equação diferencial ordinária
\sqrt[4]{y} d x-\frac{x^{2}+1}{\sqrt[4]{y^{3}}} d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\sqrt[4]{y}\,dx - \frac{x^{2}+1}{\sqrt[4]{y^{3}}}\,dy = 0
e pede sua solução geral. Isso é uma equação de variáveis separáveis, pois dá para reunir todos os termos com x de um lado e todos os termos com y de outro. Vamos explorar essa ideia.

Passo 2

Começamos isolando dx e dy. Note que
\sqrt[4]{y}\,dx = \frac{x^{2}+1}{\sqrt[4]{y^{3}}}\,dy.
Dividindo ambos os lados por \sqrt[4]{y} resulta em
dx = (x^{2}+1)\,\frac{1}{\sqrt[4]{y^{3}}\;\sqrt[4]{y}}\,dy = (x^{2}+1)\;y^{-1}\,dy.
Ou seja, chegamos à forma separável
\frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{dy}{y}.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \int \frac{dy}{y}.
No lado esquerdo a primitiva é \arctan x e no direito é \ln\lvert y\rvert. Logo,
\arctan x = \ln\lvert y\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reescrevendo em forma implícita conveniente, obtemos
\arctan x - \ln\lvert y\rvert = C.
Se preferir isolar y, basta fazer
\ln\lvert y\rvert = \arctan x - C \quad\Longrightarrow\quad \lvert y\rvert = e^{\arctan x - C} = A\,e^{\arctan x},
onde A = e^{-C} é constante arbitrária positiva (ou negativa, se for incluir o sinal).

Resposta

\arctan x - \ln\lvert y\rvert = C,
ou equivalente
y = A\,e^{\arctan x},\quad A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Exercícios relacionados