Sabendo que Y(s-1)=Y(s), encontre a expressão de y(t), utilizando a Transformada de Laplace:
\frac{d y}{d t}=1-\operatorname{sen}(t)-\int_{0}^{t} e^{\tau} y(\tau) d \tau, \text { onde } y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação integral–diferencial
\frac{dy}{dt}=1-\operatorname{sen}(t)-\int_{0}^{t}e^{\tau}\,y(\tau)\,d\tau,
com y(0)=0, e pede y(t) usando a Transformada de Laplace. Vamos usar: transformada da derivada, do integral de convolução e a propriedade \mathcal{L}\{e^{t}y(t)\}=Y(s-1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{dy}{dt}\Bigr\} =\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\} -\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}e^{\tau}y(\tau)\,d\tau\Bigr\}.
Sabendo que y(0)=0, \mathcal{L}\{y'(t)\}=s\,Y(s), \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}=1/(s^2+1).

Passo 3

Para o termo integral usamos
\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}e^{\tau}y(\tau)\,d\tau\Bigr\} =\frac{1}{s}\,\mathcal{L}\{e^{t}y(t)\} =\frac{1}{s}\,Y(s-1).

Passo 4

Substituindo tudo na equação de Laplace:
s\,Y(s)-\Bigl[\tfrac{1}{s}-\tfrac{1}{s^2+1}\Bigr] -\frac{1}{s}\,Y(s-1)=0.
Como o enunciado garante Y(s-1)=Y(s), isso vira
s\,Y(s)-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2+1} -\frac{1}{s}\,Y(s)=0.

Passo 5

Agrupando em Y(s):
Y(s)\Bigl(s-\tfrac{1}{s}\Bigr) =\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2+1}.
Como s-\tfrac1s=(s^2+1)/s, obtemos
Y(s) =\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2+1}\Bigr)\frac{s}{s^2+1} =\frac{1}{s^2+1}-\frac{s}{(s^2+1)^2}.

Passo 6

Agora, invertendo termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\}=\operatorname{sen}(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{(s^2+1)^2}\Bigr\} =\tfrac12\,t\,\operatorname{sen}(t).

Passo 7

Logo
y(t) =\operatorname{sen}(t)\;-\;\tfrac12\,t\,\operatorname{sen}(t) =\operatorname{sen}(t)\Bigl(1-\tfrac{t}{2}\Bigr).

Resposta

y(t)=\operatorname{sen}(t)\Bigl(1-\tfrac{t}{2}\Bigr).

Exercícios relacionados