Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo. (r) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1.3 .5 .7 . \cdots .(2 n-1) x^{n}}{3.6 .9 . \cdots .3 n}
O numerador é o produto dos ímpares até (2n-1): 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
O denominador é o produto 3\cdot6\cdot9\cdots 3n, ou seja, 3^n vezes 1\cdot2\cdot3\cdots n.
A série é uma série de potências na forma \sum_{n=1}^\infty a_n x^n. O objetivo é achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência (verificando os extremos).
Passo 2
Vou escrever os produtos em formas factorial/double-factorial para manipular melhor os coeficientes.
Para o numerador usamos a identidade do duplo fatorial:
Explicação rápida: multiplicando pares e ímpares do fatorial (2n)! e isolando os fatores pares obtém-se essa relação (é uma identidade padrão: (2n)! = 2^n n! (2n-1)!!).
Observação: pensei cada passo devagarinho para você conseguir reproduzir na prova sem erro.
Passo 3
Agora calculo o raio de convergência usando o teste da razão para séries de potências. Para uma série \sum a_n x^n o raio R (quando o limite existe) é dado por
\frac{(2n+2)(2n+1)}{6 (n+1)^{2}} =\frac{2(n+1)(2n+1)}{6 (n+1)^{2}} =\frac{2(2n+1)}{6(n+1)} =\frac{2n+\tfrac{1}{}}{3n+3}\quad\text{(vou reescrever de forma mais clara)}
Conclusão parcial: a série converge absolutamente para |x|<\tfrac{3}{2} (propriedade geral de séries de potências: dentro do raio converge absolutamente). Falta analisar os pontos da fronteira |x|=\tfrac{3}{2}, ou seja x=\tfrac{3}{2} e x=-\tfrac{3}{2}.
Passo 5
Análise do extremo x=\tfrac{3}{2}.
Substituo x=\tfrac{3}{2} na expressão geral. O termo geral vira
Aqui usei \displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} (o coeficiente binomial central).
Agora decido sobre convergência. Vou aplicar o teste de Leibniz (critérios para séries alternadas): se os módulos dos termos b_n=\binom{2n}{n}/4^n satisfazem b_n\downarrow 0 (decrescem para zero), então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge condicionalmente.
Primeiro mostro que b_n\to0 e é decrescente (a prova do decrescimento é simples por razão):
Logo b_{n+1}<b_n para todo n, ou seja, b_n é decrescente. Além disso b_n\to0 (por exemplo usando a estimativa assintótica abaixo ou observando que \binom{2n}{n}<4^n e o quociente tende a zero). Mais forte: há a estimativa conhecida (Stirling)
Pelo teste de Leibniz a série em x=\tfrac{3}{2} converge. Entretanto a convergência não é absoluta, porque os termos absolutos b_n têm comportamento assintótico b_n\sim 1/\sqrt{\pi n} e a série \sum 1/\sqrt{n} diverge (série p-com p=\tfrac{1}{2}\le1). Portanto em x=\tfrac{3}{2} a série converge condicionalmente, não absolutamente.
Já vimos que b_n\sim 1/\sqrt{\pi n}, ou seja os termos não caem rápido o suficiente para que a soma \sum b_n convirja (comparando com \sum 1/\sqrt{n}). Mais formalmente, pelo limite assintótico ou pelo teste da comparação limite,
portanto \sum b_n diverge. Como os termos são todos positivos, a série em x=-\tfrac{3}{2} diverge.
Passo 7
Resumo das conclusões:
Raio de convergência: R=\tfrac{3}{2}.
Intervalo de convergência: converge para |x|<\tfrac{3}{2}; em x=\tfrac{3}{2} converge condicionalmente; em x=-\tfrac{3}{2} diverge. Portanto o intervalo de convergência é
\left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right]
(com extremo esquerdo excluído e extremo direito incluído).
Resposta
R=\dfrac{3}{2}
Intervalo de convergência: \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right]