Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(r) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1.3 .5 .7 . \cdots .(2 n-1) x^{n}}{3.6 .9 . \cdots .3 n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\;x^{n}}{3\cdot6\cdot9\cdots 3n}.
Informações relevantes que vou usar:
  • O numerador é o produto dos ímpares até (2n-1): 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
  • O denominador é o produto 3\cdot6\cdot9\cdots 3n, ou seja, 3^n vezes 1\cdot2\cdot3\cdots n.
  • A série é uma série de potências na forma \sum_{n=1}^\infty a_n x^n. O objetivo é achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência (verificando os extremos).

Passo 2

Vou escrever os produtos em formas factorial/double-factorial para manipular melhor os coeficientes.
  1. Para o numerador usamos a identidade do duplo fatorial:
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
Explicação rápida: multiplicando pares e ímpares do fatorial (2n)! e isolando os fatores pares obtém-se essa relação (é uma identidade padrão: (2n)! = 2^n n! (2n-1)!!).
  1. Para o denominador:
3\cdot6\cdot9\cdots 3n = 3^n (1\cdot2\cdot3\cdots n)=3^n n!.
  1. Então o coeficiente a_n (parte que multiplica x^n) é
a_n = (-1)^n\frac{(2n)!}{2^{n} n!}\cdot\frac{1}{3^{n} n!} = (-1)^n\frac{(2n)!}{6^{n}(n!)^{2}}.
Observação: pensei cada passo devagarinho para você conseguir reproduzir na prova sem erro.

Passo 3

Agora calculo o raio de convergência usando o teste da razão para séries de potências. Para uma série \sum a_n x^n o raio R (quando o limite existe) é dado por
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
ou equivalentemente R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|}.
Calculo |a_{n+1}/a_n|:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{\dfrac{(2n+2)!}{6^{\,n+1}((n+1)!)^{2}}}{\dfrac{(2n)!}{6^{n}(n!)^{2}}} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{6 (n+1)^{2}}.
Agora simplifico pouco a expressão:
\frac{(2n+2)(2n+1)}{6 (n+1)^{2}} =\frac{2(n+1)(2n+1)}{6 (n+1)^{2}} =\frac{2(2n+1)}{6(n+1)} =\frac{2n+\tfrac{1}{}}{3n+3}\quad\text{(vou reescrever de forma mais clara)}
mais simples:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2n+1}{3n+3}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{2}{3}.
Logo o raio é
R=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Conclusão parcial: a série converge absolutamente para |x|<\tfrac{3}{2} (propriedade geral de séries de potências: dentro do raio converge absolutamente). Falta analisar os pontos da fronteira |x|=\tfrac{3}{2}, ou seja x=\tfrac{3}{2} e x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Análise do extremo x=\tfrac{3}{2}.
Substituo x=\tfrac{3}{2} na expressão geral. O termo geral vira
(-1)^n\frac{(2n)!}{6^{n}(n!)^{2}}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}.
Agrupando potências:
\frac{1}{6^{n}}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}=\left(\frac{3/2}{6}\right)^{n}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
Portanto o termo geral é
(-1)^n\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\left(\frac{1}{4}\right)^{n} =\binom{2n}{n}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}.
Aqui usei \displaystyle \binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} (o coeficiente binomial central).
Agora decido sobre convergência. Vou aplicar o teste de Leibniz (critérios para séries alternadas): se os módulos dos termos b_n=\binom{2n}{n}/4^n satisfazem b_n\downarrow 0 (decrescem para zero), então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge condicionalmente.
Primeiro mostro que b_n\to0 e é decrescente (a prova do decrescimento é simples por razão):
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\binom{2n+2}{n+1}/4^{n+1}}{\binom{2n}{n}/4^{n}} =\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{4} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{2n+1}{2n+2}<1.
Logo b_{n+1}<b_n para todo n, ou seja, b_n é decrescente. Além disso b_n\to0 (por exemplo usando a estimativa assintótica abaixo ou observando que \binom{2n}{n}<4^n e o quociente tende a zero). Mais forte: há a estimativa conhecida (Stirling)
\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},
então
b_n=\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\to0.
Pelo teste de Leibniz a série em x=\tfrac{3}{2} converge. Entretanto a convergência não é absoluta, porque os termos absolutos b_n têm comportamento assintótico b_n\sim 1/\sqrt{\pi n} e a série \sum 1/\sqrt{n} diverge (série p-com p=\tfrac{1}{2}\le1). Portanto em x=\tfrac{3}{2} a série converge condicionalmente, não absolutamente.

Passo 6

Análise do extremo x=-\tfrac{3}{2}.
Substituo x=-\tfrac{3}{2}. O termo geral fica
(-1)^n\frac{(2n)!}{6^{n}(n!)^{2}}\left(-\frac{3}{2}\right)^{n}.
Como (-1)^n(-1)^n=1, os sinais se anulam e o termo é positivo:
\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\binom{2n}{n}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=b_n.
Já vimos que b_n\sim 1/\sqrt{\pi n}, ou seja os termos não caem rápido o suficiente para que a soma \sum b_n convirja (comparando com \sum 1/\sqrt{n}). Mais formalmente, pelo limite assintótico ou pelo teste da comparação limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{1/\sqrt{n}}=\text{const}>0,
portanto \sum b_n diverge. Como os termos são todos positivos, a série em x=-\tfrac{3}{2} diverge.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • Raio de convergência: R=\tfrac{3}{2}.
  • Intervalo de convergência: converge para |x|<\tfrac{3}{2}; em x=\tfrac{3}{2} converge condicionalmente; em x=-\tfrac{3}{2} diverge. Portanto o intervalo de convergência é
\left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right]
(com extremo esquerdo excluído e extremo direito incluído).

Resposta

R=\dfrac{3}{2}
Intervalo de convergência: \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right]

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