Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares, onde:
A=\left(2, \frac{\pi}{6}\right), B=(-3,0), C=\left(4,-\frac{\pi}{4}\right), D=\left(-1, \frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares.”
Os pontos fornecidos são:
A=\left(2, \frac{\pi}{6}\right), B=(-3,0), C=\left(4,-\frac{\pi}{4}\right), D=\left(-1, \frac{\pi}{3}\right).
Devemos transformar cada par (r,\theta) em coordenadas cartesianas (x,y).

Passo 2

Fórmula de conversão (a peça-chave): dado um ponto em polares (r,\theta), as coordenadas cartesianas (x,y) são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui \,r, é a distância radial (pode ser positiva ou negativa) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Vamos usar essas fórmulas para cada ponto. Dica rápida: memorize os valores trigonométricos exatos para ângulos comuns ( \tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},0).

Passo 3

Converter A=\left(2,\frac{\pi}{6}\right).
Valores trigonométricos conhecidos:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Aplicando as fórmulas:
x_A = 2\cos\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
y_A = 2\sin\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Portanto, A=(\sqrt{3},\,1).

Passo 4

Converter B=(-3,0).
Observação sobre r negativo: usar diretamente as fórmulas funciona — um r negativo aponta na direção oposta ao ângulo \theta. Para \theta=0:
\cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0.
Aplicando:
x_B = -3\cos 0 = -3\cdot 1 = -3,
y_B = -3\sin 0 = -3\cdot 0 = 0.
Logo, B=(-3,\,0). (Alternativamente, o mesmo ponto pode ser representado em polares como (3,\pi), mas a conversão direta deu o resultado Cartesianamente.)

Passo 5

Converter C=\left(4,-\frac{\pi}{4}\right).
Valores trigonométricos:
\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Aplicando:
x_C = 4\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2},
y_C = 4\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\sqrt{2}.
Portanto, C=(2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2}).

Passo 6

Converter D=\left(-1,\frac{\pi}{3}\right).
Valores trigonométricos:
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como r=-1, aplicamos diretamente:
x_D = -1\cdot\cos\frac{\pi}{3} = -1\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2},
y_D = -1\cdot\sin\frac{\pi}{3} = -1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Assim, D=\left(-\frac{1}{2},\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 7

Checagem rápida (sinais e consistência):
  • Para ângulos no primeiro quadrante ( \tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3}) com r positivo, x e y são positivos — ok para A.
  • Para B com \theta=0 e r<0, o ponto fica no eixo x negativo — ok.
  • Para C com \theta<0, y deveria ser negativo — ok.
  • Para D com r<0 e \theta no primeiro quadrante, ambos x e y resultam negativos — ok.

Resposta

A=(\sqrt{3},\,1)
B=(-3,\,0)
C=(2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2})
D=\left(-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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