Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares, onde:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares.”
Os pontos fornecidos são:
,
,
,
.
Devemos transformar cada par em coordenadas cartesianas
.
Os pontos fornecidos são:
Devemos transformar cada par
Passo 2
Fórmula de conversão (a peça-chave): dado um ponto em polares
, as coordenadas cartesianas
são
Aqui
, é a distância radial (pode ser positiva ou negativa) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Vamos usar essas fórmulas para cada ponto. Dica rápida: memorize os valores trigonométricos exatos para ângulos comuns (
).
Passo 3
Converter
.
Valores trigonométricos conhecidos:
Aplicando as fórmulas:
Portanto,
.
Passo 4
Converter
.
Observação sobre
negativo: usar diretamente as fórmulas funciona — um
negativo aponta na direção oposta ao ângulo
. Para
:
Aplicando:
Logo,
. (Alternativamente, o mesmo ponto pode ser representado em polares como
, mas a conversão direta deu o resultado Cartesianamente.)
Passo 5
Converter
.
Valores trigonométricos:
Aplicando:
Portanto,
.
Passo 6
Converter
.
Valores trigonométricos:
Como
, aplicamos diretamente:
Assim,
.
Passo 7
Checagem rápida (sinais e consistência):
- Para ângulos no primeiro quadrante (
) com positivo, e são positivos — ok para . - Para
com e , o ponto fica no eixo negativo — ok. - Para
com , deveria ser negativo — ok. - Para
com e no primeiro quadrante, ambos e resultam negativos — ok.