Determine os rais de convergência das séries dadas.
sumn=0^infty (z-i)^nn!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(z - i)^nn!
O conteúdo aqui é séries de potências em torno de z0=i e para encontrar o raio de convergência usamos o teste da razão (ou o critério da raiz) aplicado aos coeficientes an = 1/n!.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos
L ;=;limntoinfty|an+1(z-i)^n+1an(z-i)^n| =limntoinfty|1/(n+1)!1/n!,(z-i)| =limntoinfty|z-i|n+1

Passo 3

Como
|z-i|n+1to 0<1
para todo zinC, a série converge para qualquer z. Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é infty.

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