In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
Passo 1
Estamos em busca das expansões em série de Fourier de meia-faixa — cosseno (extensão par) e seno (extensão ímpar) — para a função
definida em
[0,1] .
ParaL=1 as fórmulas padrão são:
Para
Passo 2
Cálculo de
a0 e
an .
Comof(x)=1 em
[0,tfrac12] e zero em
[tfrac12,1] , temos
Como
Para
n>=1 :
Passo 3
Série de cossenos (extensão par):
Como
sin(npi/2)=0 para
n par e
pm1 para
n ímpar, pode-se escrever só em termos de
n=2k-1 :
Passo 4
Cálculo de
bn .
Passo 5
Série de senos (extensão ímpar):
Note que
cos(npi/2)=0 se
n é ímpar e
pm1 se
n é par, logo só certos termos sobrevivem.
Resposta
Série de cossenos:
Série de senos: