In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
f(x)= 1, & 0<x<12 0, & 12 <= x<1

Passo 1

Estamos em busca das expansões em série de Fourier de meia-faixa — cosseno (extensão par) e seno (extensão ímpar) — para a função
f(x)= 1,&0<x<tfrac12, 0,&tfrac12<= x<1
definida em [0,1].
Para L=1 as fórmulas padrão são:
a0=2Lintegral0^Lf(x),dx, an=2Lintegral0^Lf(x)cosl(npi x/Lr),dx,
bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi x/Lr),dx

Passo 2

Cálculo de a0 e an.
Como f(x)=1 em [0,tfrac12] e zero em [tfrac12,1], temos
a0=2integral0^1f(x),dx =2integral0^1/21,dx =2cdot12 =1
Para n>=1:
an =2integral0^1f(x)cos(npi x),dx =2integral0^1/2cos(npi x),dx =2npil[sin(npi x)r]0^1/2 =2npisinl(tfracnpi2r)

Passo 3

Série de cossenos (extensão par):
f(x)sim a02+sumn=1^inftyancos(npi x) =12+sumn=1^infty2npisinl(tfracnpi2r)cos(npi x)
Como sin(npi/2)=0 para n par e pm1 para n ímpar, pode-se escrever só em termos de n=2k-1:
f(x)=12+sumk=1^infty2(-1)^,k-1(2k-1)pi,cosl((2k-1)pi xr)

Passo 4

Cálculo de bn.
bn =2integral0^1f(x)sin(npi x),dx =2integral0^1/2sin(npi x),dx =-2npil[cos(npi x)r]0^1/2 =2npil(1-cos(tfracnpi2)r)

Passo 5

Série de senos (extensão ímpar):
f(x)sim sumn=1^inftybnsin(npi x) =sumn=1^infty2npil(1-cos(tfracnpi2)r)sin(npi x)
Note que cos(npi/2)=0 se n é ímpar e pm1 se n é par, logo só certos termos sobrevivem.

Resposta

Série de cossenos:
f(x)=12+sumk=1^infty2(-1)^,k-1(2k-1)pi,cosl((2k-1)pi xr)
Série de senos:
f(x)=sumn=1^infty2npil(1-cos(tfracnpi2)r)sin(npi x)

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