In Problems 1-16 find the Fourier series of on the given interval.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período
O comprimento do meio-período é é
com

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=0 em (-1,0) e f(x)=x em (0,1),
a0=integral-1^1f(x),dx =integral0^1 x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac12
Logo o termo constante é tfraca02=tfrac14.

Passo 3

Calcular an.
an =integral-1^1f(x)cos(npi x),dx =integral0^1 xcos(npi x),dx
Usando integração por partes com u=x, dv=cos(npi x),dx, obtemos
integral0^1 xcos(npi x),dx =l[xsin(npi x)npir]0^1 -integral0^1sin(npi x)npi,dx =(-1)^n-1n^2pi^2
Portanto
an=(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 4

Calcular bn.
bn =integral-1^1f(x)sin(npi x),dx =integral0^1 xsin(npi x),dx
Integramos por partes com u=x, dv=sin(npi x),dx,
integral0^1 xsin(npi x),dx =-l[xcos(npi x)npir]0^1 +integral0^1cos(npi x)npi,dx =(-1)^n+1npi
Logo
bn=(-1)^n+1npi

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier é
f(x) =14 +sumn=1^infty!gl((-1)^n-1n^2pi^2cos(npi x) +(-1)^n+1npisin(npi x)gr)

Resposta

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