Utilize uma mudança de variável para resolver a equação diferencial:
d yd x=2+e^y-2 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo dydx = 2 + e^y - 2x + 5. O assunto aqui é equações diferenciais e a gente vai usar uma mudança de variável para simplificar e resolver a equação. Vamos precisar fazer uma substituição inteligente para deixar a equação mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma nova variável para simplificar a expressão no expoente. Vamos definir u = y - 2x + 5. Isso vai ajudar a transformar a equação original.

Passo 3

Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar dudx. Sabemos que:
dudx = dydx - 2
Substituindo dydx pela expressão da equação original:
dudx = 2 + e^u - 2 = e^u

Passo 4

Nossa nova equação ficou:
dudx = e^u
Vamos separar as variáveis para integrar:
due^u = dx
Isso simplifica para:
e^-u du = dx

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral e^-u du = integral dx
A integral de e^-u em relação a u é -e^-u, e a integral de dx é x. Então:
- e^-u = x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para u:
e^-u = -x + C'
onde C' = -C. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
-u = ln(-x + C')
Multiplicando ambos os lados por -1:
u = -ln(C' - x)

Passo 7

Lembrando que u = y - 2x + 5, substituímos de volta:
y - 2x + 5 = -ln(C' - x)
Isolando y:
y = 2x - 5 - ln(C' - x)
Podemos renomear a constante C' para apenas C, já que é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2x - 5 + ln(C - x)

Exercícios relacionados