Utilize uma mudança de variável para resolver a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. O assunto aqui é equações diferenciais e a gente vai usar uma mudança de variável para simplificar e resolver a equação. Vamos precisar fazer uma substituição inteligente para deixar a equação mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma nova variável para simplificar a expressão no expoente. Vamos definir
. Isso vai ajudar a transformar a equação original.
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo
pela expressão da equação original:
Passo 4
Nossa nova equação ficou:
Vamos separar as variáveis para integrar:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
onde
. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
:
Podemos renomear a constante
para apenas
, já que é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: