In Problems 1-16 find the Fourier series of on the given interval.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
f(x)= 0, & -pi < x < 0, x^2, & 0 <= x < pi,
no intervalo (-pi,pi).
O conteúdo necessário é a definição de coeficientes da série de Fourier num intervalo simétrico:
a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx, an = 1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn = 1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
Como f(x)=0 em (-pi,0), basta integrar de 0 a pi.

Passo 2

Calculamos a0:
a0 = 1piintegral-pi^pif(x),dx = 1piintegral0^pix^2,dx = 1pi,l[x^33r]0^pi = pi^23

Passo 3

Calculamos an para n>=1:
an = 1piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
integral0^pix^2cos(nx),dx = 2pi(-1)^nn^2
Logo
an = 1pi,2pi(-1)^nn^2 = 2(-1)^nn^2

Passo 4

Calculamos bn para n>=1:
bn = 1piintegral0^pix^2sin(nx),dx
Também por partes duas vezes chega-se a
integral0^pix^2sin(nx),dx = (-1)^n+1,pi^2n + 2,(-1)^n-1n^3
Portanto
bn = 1pil[ (-1)^n+1pi^2n +2,(-1)^n-1n^3 r] = (-1)^n+1,pin + 2pi,(-1)^n-1n^3

Passo 5

A série de Fourier fica
f(x) sim a02 + sumn=1^infty l[ancos(nx) + bnsin(nx)r],
isto é,
f(x) = pi^26 + sumn=1^infty gl[ 2(-1)^nn^2cos(nx) + l( (-1)^n+1pin + 2pi,(-1)^n-1n^3 r)sin(nx) gr]

Resposta

boxed f(x) = pi^26 + sumn=1^infty gl[ 2(-1)^nn^2cos(nx) + l( (-1)^n+1pin + 2pi,(-1)^n-1n^3 r)sin(nx) gr]

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